¿Qué significa que un homeomorfismo (no suave) entre variedades suaves orientadas conserve la orientación?

La orientación se puede definir en variedades utilizando la teoría de la homología singular. El caso más fácil es donde$M$es un compacto$n$-colector. Entonces$H_n(M;\Bbb Z)$es isomorfo a$\Bbb Z$cuando$M$es orientable, y es cero cuando$M$no es orientable. una orientación de$M$es una elección de un generador de$H_n(M;\Bbb Z)$. un homeomorfismo$f:M\to M'$conserva la orientación si$f^*$mapea tu generador favorito de$H_n(M;\Bbb Z)$a tu generador favorito de$H_n(M';\Bbb Z)$.

De forma más general, se pueden utilizar grupos de homología locales; estos son grupos de homología relativa$H_n(M,M-\{x\};\Bbb Z)$dónde$x\in M$. Estos determinan si un mapa entre variedades conserva o no la orientación en un punto dado.

Para más detalles, véanse los textos en topología algebraica, por ejemplo, el de Hatcher.

Lord Shark the Unknown ha respondido completamente la pregunta, pero permítanme llamar su atención sobre el concepto de "micropaquete" introducido por Milnor. Consulte, por ejemplo, https://en.wikipedia.org/wiki/Microbundle y

Switzer, Robert M. Topología algebraica: homotopía y homología. Springer, 2017.

Como seguramente sabrá, la orientación de una variedad uniforme se puede definir como la orientación de su paquete tangente. Variedades topológicas$M$no tiene un paquete tangente, pero puede considerar el triple$E = (M,\Delta,p)$, dónde$\Delta : M \to M \times M$es el mapa diagonal y$p : M \times M \to M$es la proyección sobre la primera coordenada. Alrededor$\Delta(M)$el espacio$M \times M$parece un paquete de vectores. De hecho, deja$p \in M$y$U$sea ​​un vecindario abierto homeomorfo a$\mathbb{R}^n$. Entonces$U \times U$es un barrio abierto de$\Delta(p)$que es homeomorfo a$U \times \mathbb{R}^n$, y la restricción de$p$a$U \times U$corresponde a la proyección$U \times \mathbb{R}^n \to U$. Esto significa que$(M,\Delta,p)$es un micropaquete .

Las orientaciones de los microhaces se pueden definir homólogamente. Vuelva a ver la respuesta de Lord Shark the Unknown. Intuitivamente, cada micropaquete con fibra$\mathbb{R}^n$admite un haz de esferas con fibra$S^{n-1}$alrededor de la sección cero del espacio base. Una orientación de tal haz de esferas es una "familia compatible" de orientaciones de las fibras.$S_p \approx S^{n-1}$, y esta viene dada por una familia de generadores de$H_{n-1}(S_p)$. Para una variedad topológica se ve fácilmente que$H_{n-1}(S_p) \approx H_n(M,M \setminus p)$.