D2D2D^2 variedad no topológica sin límite

Pero tengo que demostrar que no existe un entorno abierto de 1 homeomorfo a $\mathbb{R}^2$, así que no puedo elegirlo.

Sí, pero cualquier barrio abierto de $1$contiene uno de este formulario. Y ningún subconjunto abierto de $\mathbb{R}^2$(la imagen bajo el homeomorfismo propuesto de este pequeño disco abierto) tiene la propiedad de que quitando un punto se obtiene un conjunto contráctil.

Entonces, si leí correctamente, esto es lo que estás diciendo: Vamos $U$Sea un vecindario abierto de 1 homeomorfo a $\mathbb{R}^2$, con $f$el homeomorfismo Entonces, existe $\epsilon>0$tal que $X:=B_\epsilon(1)\cap D^2\subset U$. Al restringir $f$, obtenemos un homeomorfismo entre $X$y algunos abiertos $V$en $\mathbb{R}^2$. Entonces, $X\setminus\{1\}$es homeomorfo a $V\setminus\{f(1)\}$, pero $X\setminus\{1\}$es contráctil ya que tiene forma de estrella y $V\setminus\{f(1)\}$no es contraible

@James Así es.

¿Cómo puedo mostrar fácilmente que $X\setminus\{1\}$tiene forma de estrella?

Pensando en $D^2\subset \mathbb{R}^2$y $1=(1,0)$: la línea entre $y=(1-\epsilon/2,0) \in X$y cualquier punto en $X\setminus\{1\}$se encuentra completamente en $X\setminus\{1\}$.

¿Podemos decir también que $X\setminus\{1\}$es convexo?

@James sí, definitivamente.