Sobre la partición de una variedad en subvariedades de la misma dimensión

Dejar$M$frijol$n$Variedad topológica dimensional con límite. Dejar$M_1,M_2,...,M_k$ser$n$subvariedades dimensionales de$M$tal que:

1. $M=\cup_{i=1}^k M_i$
2. $\{Int(M_i)\}_{i}$es una familia de conjuntos disjuntos por parejas. (Dónde$Int$denota el interior de una variedad topológica)

¿Se sigue que para cualquier no vacío$A\subseteq\{1,2,..,k\}$eso$\cap_{a\in A}M_a$está vacío o es una variedad (con límite) de dimensión$n+1-|A|$y que tenemos$\partial M\cap \cap_{a\in A}M_a$está vacío o es una variedad con límite de dimensión$n-|A|$?

Admito que no he dedicado mucho tiempo a pensar en el problema ya que no tengo conocimiento de la maquinaria habitual necesaria para tratar con variedades topológicas en lugar de variedades uniformes. Supongo que podría ser suficiente para probar la declaración de$k=2$? La situación matemática que describí me recuerda a los diagramas de fase en termodinámica/ciencia de materiales.

Agradecería si alguien puede señalar una referencia o un contraejemplo.