Límite múltiple versus límite topológico.

Probablemente tenía algunas suposiciones en mente, sobre$M$o$X$o la incrustación, que no mencionaste en la pregunta. Lo que realmente escribiste permite la posibilidad de que$X=M$, y luego$\partial_TM=\varnothing$.

Piensa en el círculo en el plano. ¿Cuál es su límite topológico? en que condicion$M\subset X$es necesario y suficiente para$M$no ser el límite topológico, y por lo tanto para$\partial M$ser el límite topológico?

Suponer$X$es un múltiple. Dado que la afirmación es local en todos los puntos de la frontera, basta con considerar el caso$X=\mathbb R^n$. La dimensión$n$es relevante. Si$n-1\ge\dim(M)$, entonces el límite topológico es todo$M$, y la afirmación se cumple trivialmente. Si$n=\dim(M)$, entonces$\text{Int}(M)=M\setminus\partial M$es un conjunto abierto en$\mathbb R^n$y$\partial M$una hipersuperficie en$\mathbb R^n$. Esta hipersuperficie se divide localmente$\mathbb R^n$en dos componentes, uno en$M$y el otro en$\mathbb R^n\setminus M$. En consecuencia, la hipersuperficie$\partial M$es exactamente el límite topológico de$M$. Aquí la afirmación es más pertinente.