En esta pregunta me refiero a un "anillo conmutativo con un 1, no igual a 0" como un anillo.
He visto mencionar un par de veces que es más útil pensar en los anillos como objetos que contienen ideales en lugar de pensar en los elementos. Por ejemplo, en algunas respuestas en este sitio, dirán "aquí hay un enfoque sin elementos". ¿Por qué es una buena idea y cuáles son las motivaciones detrás de ella? Desde el punto de vista de la teoría de grupos, sería extraño ignorar los elementos, parece que solo estamos perdiendo información. Según tengo entendido, los anillos son útiles porque podemos estudiar teoría de números con ellos, pero ¿cómo podríamos hacerlo sin elementos?
Las referencias son bienvenidas. Gracias.
Algunas personas se dejan llevar por las afirmaciones libres de elementos. Yo diría que esta es una buena pregunta relacionada para revisar .
El hecho es que sí, a veces hay formas útiles de caracterizar cosas sobre anillos sin referirse a elementos y solo refiriéndose a ideales (o submódulos de sus módulos). Esto es cierto para muchas cosas en geometría algebraica y álgebra homológica.
Pero los ideales no son el todo y el fin de la teoría del anillo. Considere la gran variedad de campos (y anillos de división) que existen. Todos ellos se ven idénticos si solo prestas atención a los ideales.
Es cierto que, en ocasiones, el uso concreto de elementos resulta en una distracción y una forma de miopía. Por ejemplo, algunos estudiantes solo entenderán las matrices como transformaciones lineales a expensas de comprender las transformaciones lineales en abstracto. En cierto sentido, están "demasiado cerca" para ver lo que está pasando.
Pero en otros casos parece imposible dejar de mencionar los elementos. Por ejemplo, algo como un campo euclidiano necesita decir algo sobre cada elemento. Otro ejemplo podrían ser los anillos booleanos. No estoy al tanto de una caracterización libre de elementos de estos...
Realmente uno no debería estar promoviendo absolutamente un enfoque sin elementos sobre el enfoque con elementos. Ambos se pueden utilizar en diferentes circunstancias y se complementan entre sí.
Esto está un poco basado en opiniones, pero intentaré responderlo de todos modos.
La motivación es que, a veces, demasiada información es solo un ruido que empaña el panorama general. por ejemplo si tiene exactamente dos ideales ( y ) entonces es un campo. Y entonces podemos decir mucho sobre los módulos sobre (todos son gratis) simplemente mirando cuántos ideales tiene, no hay necesidad de analizar elementos. Por supuesto, lo mismo podría deducirse comprobando si cada elemento tiene inversa, después de todo, tener más información no empeora las cosas. Pero solo somos humanos y hay una cantidad limitada de información que podemos manejar.
Tenga en cuenta que lo mismo se aplica a los grupos. A menudo consideramos grupos simples, que son grupos con solo dos subgrupos normales: el subgrupo trivial y él mismo. Esta información por sí sola implica muchas consecuencias, como por ejemplo todo homomorfismo con un grupo simple como dominio es cero o inyectivo. De hecho, los grupos simples finitos son muy importantes, son componentes básicos de cualquier grupo finito.
Otro ejemplo, supongamos que tiene un grupo concreto . El grupo es grande, la tabla de multiplicar es complicada, pero de alguna manera has logrado deducir que tiene precisamente dos subgrupos: el subgrupo trivial y él mismo. Voilà, esto es suficiente para deducir que es un grupo cíclico de primer orden. No es necesario encontrar el generador y calcular su orden. A menos que sea necesario, por supuesto.
rober arthan