¿Todo espacio propio de la potencia exterior ⋀kA⋀kA\bigwedge^k A corresponde a un subespacio invariante?

Buena pregunta. Primero, tenga en cuenta que durante$\mathbb{C}$, cualquier operador puede ser representado con respecto a una base apropiada por una matriz triangular superior. Esto implica que cualquier operador$A$tiene subespacios invariantes de todas las dimensiones posibles, por lo que la pregunta no es interesante$\mathbb{C}$.

Para construir un contraejemplo sobre$\mathbb{R}$, utilizaré las siguientes observaciones:

1. Si$n$es par y el polinomio característico de$A$no tiene raíces reales, entonces$A$no tiene dimensiones impares$A$-subespacios invariantes. La razón es que si restringes$A$a una dimensión impar$A$-subespacio invariante, obtienes un operador que debe tener un vector propio (con un valor propio real), contradiciendo el hecho de que todas las raíces del polinomio característico de$A$no son reales
2. Si las raíces (posiblemente complejas) del polinomio característico de$A$son$(\lambda_i)_{i=1}^n$(con multiplicidad) entonces las raíces del polinomio característico de$\Lambda^k(A)$son$(\lambda_{\alpha})$dónde$\alpha = (i_1 < \dots < i_k)$recorre todos los multiíndices posibles y$\lambda_{\alpha} := \lambda_{i_1} \dots \lambda_{i_k}$. Para ver esto, suponga primero que$A$es un operador complejo y elige una base ordenada$(e_i)_{i=1}^n$con respecto a la cual$A$está representada por una matriz triangular superior con $$Ae_i = \lambda_i e_i \mod \operatorname{span} \{ e_j \}_{j < i}.$$ Entonces$\Lambda^k(A)$se representa con respecto a la base ordenada inducida$(e_{\alpha})$(donde el orden sobre los multiíndices es el lexicográfico) por una matriz triangular superior con $$\Lambda^k(A)(e_\alpha) = \lambda_{\alpha} e_{\alpha} \mod \operatorname{span} \{ e_{\beta} \}_{\beta < \alpha}.$$ El resultado para los operadores reales sigue por complejización utilizando el hecho de que el poder exterior y la complejización conmutan.

Ahora deja$\theta = \frac{2\pi}{3}$y establecer$\alpha = e^{i\theta}$. Considere el operador$A \colon \mathbb{R}^6 \rightarrow \mathbb{R}^6$que se representa con respecto a la base estándar por la matriz diagonal de bloques

$$\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos \theta & -\sin \theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \sin \theta & \cos \theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cos \theta & -\sin \theta \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}.$$

El polinomio característico de$A$es

$$(z - \alpha)^3(z - \overline{\alpha})^3 = (z^2 - (2 \Re{\alpha})z + |\alpha|^2)^3 = (z^2 + z + 1)^3$$ con raíces $$\alpha, \overline{\alpha}, \alpha, \overline{\alpha}, \alpha, \overline{\alpha}.$$ Las raíces no son reales, así que$A$no tiene un subespacio invariante tridimensional. Sin embargo$\alpha^3 = 1$es una raíz real del polinomio característico de$\Lambda^3(A)$(de multiplicidad dos) entonces$\Lambda^3(A)$tiene dos vectores propios linealmente independientes que son necesariamente indescomponibles.

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Observación : Uno puede mostrar usando la descomposición primaria que si un operador real tiene un valor propio real entonces tiene subespacios invariantes de todas las dimensiones posibles. Por lo tanto, los contraejemplos solo son posibles en dimensiones pares. Es un buen ejercicio ver por qué no puedes tener un contraejemplo en la dimensión cuatro, así que este es un contraejemplo mínimo en términos de dimensión.