3blue1brow está haciendo visualmente la composición de transformaciones lineales

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3blue1brow está haciendo visualmente la composición de transformaciones lineales

Matemáticas
álgebra lineal
transformaciones lineales

Adel

Estoy tratando de entender el paso a paso de calcular visualmente las transformaciones lineales siguiendo el capítulo 4 de 3blue1brown (ver youtube 3blue1brown ch 4 .

Fondo: 3blue1brown describe cómo podemos capturar visualmente una transformación simplemente registrando dónde están los vectores base ( $\hat{i}, \hat{j}$ ) aterrizan en el sistema de coordenadas original. Entonces una rotación producirá nuevos vectores base:

$\left[\begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right]$

donde la primera columna captura la nueva base para $\hat{i}$ y la segunda columna es la nueva base para $\hat{j}$ . Seguir una transformación visualmente como esta es sencillo. La realización de dos transformaciones debería producir resultados similares. Pero no estoy obteniendo resultados consistentes.

Por ejemplo, tome las dos transformaciones "primero haga una rotación, luego haga una transformación total"; vea el enlace de arriba para ver las imágenes. Interpreto esto como si primero hiciera la rotación y dibujara este nuevo sistema de coordenadas: el nuevo eje x apunta verticalmente y el eje y apunta horizontalmente. Llame a los nuevos vectores base $\hat{i_r}$ y $\hat{j_r}$ . Ahora hacemos una transformación total en este nuevo sistema de coordenadas y registramos dónde $\hat{i_r}$ y $\hat{j_r}$ tierra: llame a estos nuevos vectores base $\hat{i_s}$ y $\hat{j_s}$ . grabo donde $\hat{i_s}$ y $\hat{j_s}$ tierra en el sistema de coordenadas original (no transformado). Esto me daría una nueva matriz (composición):

$\left[\begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 1 \\ \end{array} \right]$

Obviamente, esto es incorrecto ya que la matriz de composición debería ser:

$\left[\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right]$

Una transformación pura está representada por:

$\left[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right]$

Una transformación de rotación por,

$\left[\begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right]$

¿Por qué esta forma visual de hacerlo paso a paso no cuadra? Curiosamente, si haces estas dos transformaciones lineales al revés, de hecho obtienes los resultados esperados. En otras palabras, el cálculo visual de "primero hacer una rotación, luego hacer una transformación pura", producirá la respuesta correcta si primero hacemos una pura, luego hacemos una rotación en el sistema de coordenadas puras, luego registramos dónde aterrizan los vectores base. en el sistema de coordenadas original (no transformado). Pero esto es contrario a la intuición de que el orden importa al hacer transformaciones lineales.

Su entrada es apreciada.

Brevan Ellefsen

¿Cuál es su rotación y pura? No puede verificar sus cálculos sin saber qué transformación desea representar

Adel

Gracias por tu contribución. Se aclaró la rotación y la pura transformación.

Respuestas (1)

3blue1brow está haciendo visualmente la composición de transformaciones lineales

¿Cuál es su rotación y pura? No puede verificar sus cálculos sin saber qué transformación desea representar
Gracias por tu contribución. Se aclaró la rotación y la pura transformación.

Snjór · Answer 1

Creo que podemos considerar esta cuestión de esta manera.

La matriz que hace la rotación es entonces

T = [\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}]

$T = \begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}$

Luego hacemos la transformada de corte. En el sistema rotado, las coordenadas de dos vectores base se convierten en $\hat{i}=\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}$ y $\hat{j}=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$ . Entonces la transformada es

S = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ - 1 & 1 \end{matrix}]

$S = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ -1 & 1 \end{bmatrix}$

Pero estamos en el sistema transformado. Si vemos esta cortante en el sistema original, sería como

T \cdot S = [\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 0 \\ - 1 & 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}]

$T\cdot{S} = \begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0\\ -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}$

que es la composición de dos transformadas.

Espero que esto ayude.

Actualizar:

Cuando hablamos de un vector, digamos, $v = \begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}$ , hablamos de ello en la base estándar. Es decir, $v = 3\hat{i} + 4\hat{j}$ o $v=\begin{bmatrix}\hat{i}&\hat{j}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}$ .

Primero, hacemos la rotación.

Los vectores base cambian de $\hat{i}$ , $\hat{j}$ a $\hat{i}' = \hat{j}$ , $\hat{j}' = -\hat{i}$ .

T = [\begin{matrix} {\hat{i}}^{'} & {\hat{j}}^{'} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \hat{j} & - \hat{i} \end{matrix}]

$T = \begin{bmatrix} \hat{i}' & \hat{j}' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \hat{j} & -\hat{i} \end{bmatrix}$

Luego hacemos la transformada de corte.

Aquí para vectores base, $\hat{i}'' = \hat{i}' - \hat{j}'$ , $\hat{j}'' = \hat{j}'$

S = [\begin{matrix} {\hat{i}}^{″} & {\hat{j}}^{″} \end{matrix}] = [\begin{matrix} {\hat{i}}^{'} - \hat{j^{'}} & {\hat{j}}^{'} \end{matrix}]

$S = \begin{bmatrix} \hat{i}'' & \hat{j}'' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \hat{i}' - \hat{j'} & \hat{j}' \end{bmatrix}$

Pero como puede ver, nuestros vectores base se basan en $\hat{i}'$ y $\hat{j}'$ en lugar de $\hat{i}$ y $\hat{j}$ . Entonces esto solo describe la transformada de corte en términos del sistema rotado. Pero conocemos la relación entre ellos a partir de la transformación de rotación. Entonces podemos obtener la transformación.

T^{'} = [\begin{matrix} \hat{i} + \hat{j} & - \hat{i} \end{matrix}]

$T'= \begin{bmatrix} \hat{i} + \hat{j} & -\hat{i} \end{bmatrix}$

que describe una rotación y un corte directamente.

¡Gracias @Snjór! Supongo que donde estoy atascado es la parte de ver visualmente que los dos vectores base en el sistema rotado son en realidad i = (1,-1) y j = (0,1), su matriz S. ¿Cómo nos damos cuenta de esto geométricamente? Me siento llevado a verlos como i = (1,1), j = (-1,1). me falta una parte obvia...
@Adel actualicé mi respuesta. Espero que tenga algún sentido.

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Adel

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Snjór

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Snjór

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