La transformación lineal del espacio n-dimensional tiene n+1 vectores propios

Hay una tarea:

Transformación lineal de$n$-el espacio dimensional tiene$n+1$vectores propios , como cada$n$de ellos son linealmente independientes. Encuentre todas las matrices posibles que puedan representar dicha transformación.

La parte en negrita de la pregunta me hizo cuestionar todo lo que sé sobre los vectores propios. Supongamos que tenemos una transformación lineal$A$:

1. ¿Qué significa que A tenga$n$vectores propios ?
   vector propio es vector$x$, que satisface$Ax=\lambda x$. Pero cualquier vector colineal$cx, c \ne 0$también es vector propio, por lo que me parece que tenemos un número infinito de vectores.
2. como puedo$n$-dimensional A tiene$n+1$vectores?
   De acuerdo, podemos hacer algunas restricciones en el vector propio, como$x$es vector propio si$|x| = 1$, y tiene dirección 'positiva'. No muy inteligente, porque ahora los vectores propios dependen de la selección de normas y direcciones. Ahora bien tenemos$n$valores propios distintos y$n$vectores propios, o algún valor propio repetido, en cuyo caso el vector propio tiene alguna constante libre. Entonces también se convierte en muchos vectores. Así que debería ser cualquiera$n$o infinitos vectores.
3. Tal vez después de entender 1 y 2 pueda resolver el problema original, pero cualquier sugerencia es bienvenida.

¡Gracias a @Catalin Zara, puedo probar que esta transformación lineal es diagonizable!

Dejar$v_1 ... v_{n+1}$sea ​​nuestro sistema de vectores.$n+1$vectores en$n$espacio dimensional son dependientes lineales:

Aplique la transformación lineal A a ambos lados de la ecuación, suponiendo que$\lambda_n$corresponde a$v_n$y$v_{n+1}$:

Multiplicando la primera ecuación por$\lambda_n$y restando de segundo:

Esto debe significar una de dos cosas: todos$a_1 ... a_{n-1}$es igual a cero, o$\lambda_n$es igual a cero Primero no puede ser cierto, porque si lo es:$v_{n+1}=a_nv_n$. Por lo tanto, tenemos un valor propio cero y significa que la matriz A es diagonalizable.