Límite de aproximación a un vector propio para matrices no diagonizables

Noté que para cualquier transformación lineal, con al menos un vector propio con un valor propio distinto de cero, aplicar repetidamente la transformación a un vector distinto de cero se acerca a un vector propio. Es decir para matriz$A$con vectores propios$v_1,...,v_k$(una especie de límite ondulado a mano aquí)

$$\lim_{n\to\infty} A^n \vec{x}=a\vec{v_i}, a\in \mathbb{R}$$ Esto es trivial cuando $\vec{x}$está en el lapso de los vectores propios ya que $$\lim_{n\to\infty} A^n \vec{x}=A^n(a_1\vec{v_1}+...+a_k\vec{v_k})=a_1\lambda_1^n\vec{v_1}+...+a_k\lambda_k^n\vec{v_k}$$ y el límite se acercará al lapso del vector propio con el mayor $\lambda$

Lo que me confunde es que elegir un$\vec{x}$fuera del lapso de los vectores propios, incluso uno perpendicular al espacio de los vectores propios, también se aproximará a uno de los vectores propios. ¿Se puede dar una razón formal para esto?

Dos transformaciones que exhiben este comportamiento aparentemente son

$$\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$$ con espacio de vector propio unidimensional y bidimensional respectivamente. (tal vez errores aquí)