¿En qué campo viven los valores propios?

Dado un espacio vectorial V sobre campo escalar F , y dada una transformación lineal T : V → V , la definición de valores propios y vectores propios de T es:

Un vector distinto de cero v ∈ V es un vector propio de T si existe un escalar λ ∈ F tal que T ( v ) = λ v . λ entonces se dice que es un valor propio de T correspondiente a v .

Pero parece que algunos valores propios escapan a esta definición. Por ejemplo, deja F = R , V = R 2 , y T = [ 0 − 1 1 0 ] . Luego, algunos cálculos revelan que los valores propios son i y − i , que no viven en F .

Si V es de dimensión finita, al menos puedo decir con confianza que todos los valores propios viven en F ¯ , la clausura algebraica de F . Pero, ¿qué pasa con los casos de dimensión infinita?

En el caso de dimensión infinita, su espectro de punto (valor propio) puede estar vacío.
@undefined No te preocupes incluso en ese caso; Todos los valores propios viven vacíamente dentro de F ¯ .
Algunos operadores de dimensión infinita no tienen valores propios. P.ej ( a 1 , a 2 , … a norte , … ) ↦ ( 0 , a 1 , a 3 , … a norte , … ) es un operador lineal en secuencias sobre F sin valores propios.
En cuanto a cuándo existen los valores propios, no estoy seguro de si tienen que estar en F ¯ . Apostaría dinero a que no.

Respuestas (1)

No hay problemas con la definición. Si tu mapa T se define en R 2 → R 2 entonces no tiene valores propios. Está claro que no hay ningún vector. 0 ≠ v ∈ R 2 tal que T ( v ) = i v , entonces, cómo es i un valor propio? (sin mencionar que ni siquiera sabemos qué i es, mientras trabajamos R )

Ahora, si trabajas C y definir T en C 2 entonces la nueva transformación tendrá dos valores propios, y de hecho están en C .

Supongo que la pregunta es si los valores propios pertenecen al cierre algebraico del campo generado por los coeficientes del operador.
@coudy Nuevamente, la existencia de valores propios depende del campo. Encima R este operador no tiene valores propios, por lo que hablar de "los valores propios" no tiene sentido. Sobre un campo algebraicamente cerrado, cualquier mapa lineal de dimensión finita tiene un valor propio. (que está claro, porque el polinomio característico tiene raíz)
La pregunta trata con el caso de dimensión infinita.
@coudy Cuando la dimensión es infinita, puede haber mapas sin valores propios incluso sobre un campo algebraicamente cerrado. Consulte aquí: math.stackexchange.com/questions/1173511/…
Esto no responde a la pregunta de si los valores propios están en el cierre algebraico cuando existen. De todos modos, yo no soy el que publicó la pregunta.
Tampoco veo cómo esto responde a la pregunta. No lo publiqué, pero una buena respuesta sería averiguar si los valores propios de un operador de dimensión infinita se encuentran necesariamente en el cierre algebraico del campo sobre el que se encuentra el espacio.
@DionelJaime Nuevamente, ¿qué quiere decir con "los valores propios"? Un mapa lineal se define sobre un campo específico y los valores propios también se definen sobre un campo específico. La mayoría de las veces no puede "extender" el mapa a un campo diferente. En dimensiones finitas podemos en cierto sentido hacer eso, porque una matriz sobre R puede verse como una matriz sobre C también. Pero en dimensiones infinitas ya no trabajamos con matrices. Así que no estoy seguro de cómo quieres cambiar el campo.
La respuesta responde a la pregunta. Los valores propios de una transformación lineal se encuentran en cualquier campo sobre el que se defina la transformación lineal.
Sí, tiene usted razón.
¿En qué campo viven los valores propios?
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