¿Todas las superálgebras son álgebras de Clifford?

Un álgebra de Clifford es una estructura algebraica geométricamente rica. En el caso del álgebra de Dirac, que es un álgebra de Clifford sobre el campo complejo, introducimos un mapa del espacio tangente del espacio de Minkowski en un punto en una superálgebra. Dado un vector$V\in\mathcal{V}$, podemos introducir un mapa en un álgebra,$\gamma:\mathcal{V}\rightarrow\mathcal{A};V\mapsto\gamma(V)$. La estructura algebraica se puede presentar de varias maneras, pero de manera informal equivalen a trabajar sistemáticamente con la dependencia lineal$\gamma(U)\gamma(V)+\gamma(V)\gamma(U)=2(U,V)$. En el caso del álgebra de Dirac, el producto interior$(U,V)$en términos de componentes es obviamente$U_\mu g^{\mu\nu}V_\nu$. La estructura compleja no aparece en la dependencia lineal que he usado para presentar informalmente el álgebra.

Por varias razones, no he trabajado con superálgebras en los términos descritos por Luboš, así que estoy escandalosamente inseguro de su notación, pero parece que las dos conjugaciones distintas en su Respuesta, de la$Q$'s y de los$Q$-índices, significa que el producto interno en el caso de la "superálgebra en física" es sesquilineal (lo que parece ser antilineal complejo en el segundo componente, aunque eso es irrelevante excepto como convención). Presumo que el producto interno presentado por Luboš como$p_{a\bar{b}}$en general no tiene conexión con la métrica del espacio-tiempo. Hay un nivel de abstracción en el que la estructura sesquilineal no hace ninguna diferencia, sin embargo, es suficiente que, como categorías, las dos construcciones sean diferentes en detalle porque la estructura compleja ahora está involucrada de manera no trivial en la construcción del álgebra, no solo estamos trabajando con la complejización de un álgebra de Clifford sobre los reales.

Comencé a escribir algunos comentarios interpretativos, pero dado que eran esencialmente respuestas a aspectos de la Respuesta de Luboš, no a su Pregunta, he decidido dejarlo para que saque sus propias conclusiones.

La respuesta es No, como ya ha señalado Lubos Motl. Aquí me gustaría hacer un par de observaciones generales.

1. Por un lado, la noción de superálgebras es un tema enorme, que incluye, por ejemplo, superálgebras asociativas y superálgebras de Lie . Ejemplos importantes de superálgebras de Lie son las superálgebras de Poincaré .

2. Por otro lado, un álgebra de Clifford $\mathrm{Cl}(V,g)$sobre un espacio vectorial$V$satisface

$$vw+wv=2g(v,w){\bf 1}, \qquad v,w\in V.$$

En aplicaciones de física, el espacio vectorial$V$es a menudo un espacio vectorial generado por una base de matrices gamma,

$$\gamma^{\mu}\gamma^{\nu}+\gamma^{\nu}\gamma^{\mu}=2g^{\mu\nu}{\bf 1}.$$

En aplicaciones más matemáticas, el espacio vectorial$V$a veces viene con una clasificación extraña, de modo que el anticonmutador es un superconmutador

$$[v,w]=2g(v,w){\bf 1},$$

que puede verse como una súper álgebra de Heisenberg con graduación impar y que, por lo tanto, es un ejemplo de una súper álgebra.

Más generalmente, el espacio vectorial$V$podría ser un súper espacio vectorial $V=V_0\oplus V_1$con un sector par y otro impar, lo que lleva a una noción de súper álgebras de Clifford.

En un intercambio de pila de matemáticas, podría tener éxito con tal "isomorfismo". Pero en física, las superálgebras se interpretan de manera totalmente diferente a las álgebras de Clifford. Entonces, no solo está prohibido identificar los dos términos universalmente; pero en realidad, no hay un solo ejemplo en física que pueda llamarse tanto álgebra de Clifford como superálgebra.

Las álgebras de Clifford están reservadas para álgebras de matrices que tienen entradas explícitas de Grassmann, incluso bosónicas, especialmente el álgebra de matrices de Dirac.

$$\gamma_i \gamma_j + \gamma_j \gamma_i = 2 \delta_{ij}$$ mientras que las superálgebras están reservadas para álgebras con generadores impares de Grassmann que no pueden representarse mediante matrices pares de Grassmann de forma natural, por ejemplo $$\{Q_a,\bar Q_{\bar b}\} := Q_a Q_{\bar b} + Q_{\bar b} Q_a = 2 p_{a\bar b}.$$ Entonces, a pesar de las similitudes matemáticas en los anticonmutadores, son cosas totalmente diferentes. La diferencia entre los objetos pares de Grassmann (bosónicos) y los objetos impares de Grassmann (fermiónicos) en física se considera muy importante; no se puede decir que los objetos bosónicos y fermiónicos sean la misma cosa. Ya sea que cambien su signo o no después de una rotación de 360 ​​grados, también se decide sobre sus estadísticas, según el teorema de las estadísticas de espín.

De hecho, el$\{A,B\}$los corchetes para el anticonmutador son solo "naturales" en el caso de las superálgebras. Por ejemplo, para los campos fermiónicos, es el anticonmutador el que debería desaparecer en separaciones similares al espacio. En el caso de las álgebras de Clifford, los objetos tales como$\gamma_i$no son generadores de ningún grupo físicamente natural, especialmente los fermiónicos, por lo que no se debe hablar de sus anticonmutadores. En el caso de la matriz de Dirac, los anticonmutadores a veces se usan, pero son solo un dispositivo de contabilidad.

Por otro lado, en el caso de la superálgebra, son reemplazos reales de los conmutadores.

Nuevamente, puede haber analogías matemáticas en las fórmulas que definen las álgebras, pero estas similitudes ignoran el significado físico que es muy diferente.

La respuesta corta es no.

El tema de las súper álgebras es amplio ya que es un tema bastante nuevo y la terminología no se ha asentado en una forma que sea clara y transparente tanto para los físicos como para los matemáticos.

Una súper álgebra, en su sentido más amplio, es un álgebra que tiene una calificación par-impar, generalmente llamada$\mathbb{Z}_2$calificación Ejemplos estándar de estos son el álgebra exterior y el álgebra de Clifford. Otro ejemplo son las álgebras de Weyl. Mientras que las álgebras de Clifford pueden verse como deformaciones de álgebras exteriores, las álgebras de Weyl son deformaciones del álgebra simétrica.

Ahora, en ambos ejemplos comenzamos con un espacio vectorial ordinario antes de construir el álgebra de Clifford o Weyl sobre él. Si, en cambio, comenzamos con un superespacio vectorial, podemos unificar la construcción de modo que en grado impar obtengamos un álgebra de Weyl y en un grado par, obtengamos un álgebra de Clifford.

Es sobre esta unificación sobre la que Lubos Motl ha escrito implícitamente, es decir, en grados bosónicos y ferminiónicos, pero no explícitamente, ya que no parece conocer la terminología matemática apropiada.

Además, su descripción de un álgebra de Clifford es incorrecta. Está describiendo un álgebra de Clifford con una elección de base. Además, los describe representativamente, es decir, a través de matrices. Si bien esto es concreto, no es necesario.