¿Cómo encuentras una representación particular para los números de Grassmann?

Considere primero la representación matricial de un solo número de Grassmann como

$\theta = \left[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\right]$

dónde

$\theta^2 = \left[\begin{matrix} a^2+bc & b(a+d) \\ c(a+d) & d^2+bc \end{matrix}\right] = 0 \Leftrightarrow \theta = \left[\begin{matrix} i\sqrt{bc} & b \\ c & -i\sqrt{bc} \end{matrix}\right]$

Note que los casos más fáciles${a=b=d=0,c\neq0}$y${a=c=d=0,b\neq0}$ambos están cubiertos por esta elección. Intentar construir un segundo número de Grassmann bidimensional falla, ya que implica que los dos números son proporcionales entre sí o que uno de ellos es cero. Ahora los dos números de Grassmann independientes se pueden escribir en la forma

$\theta_1 = \tilde{\theta}_1 \otimes M_1$y$\theta_2 = M_2 \otimes \tilde{\theta}_2$

donde las matrices$\tilde{\theta}_i$se escriben en el formulario anterior (pero con diferentes valores de$b_i$y$c_i$),$\otimes$es el producto exterior y$M_1,M_2$son matrices de 2x2 a determinar. La ventaja de este formulario es que queda inmediatamente claro que el requisito$\theta_i^2 = 0$se ha completado.

La relación anti-conmutación$\{\theta_1,\theta_2\}=0$asciende a

$\tilde{\theta}_1 M_2 + M_2 \tilde{\theta}_1 = 0 \;$y/o$\; \tilde{\theta}_2 M_1 + M_1 \tilde{\theta}_2 = 0$.

Naturalmente, esto deja bastante libertad en la elección de los componentes, pero para simplificar, centrémonos en las opciones que recuperan la representación que enumeró. Elegir$b_1=b_2=0, c_1=c_2=1$la relación anti-conmutador equivale a:

$\left[\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right] M_{i} + M_i \left[\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} m_{12}^{(i)} & 0 \\ m_{11}^{(i)}+m_{22}^{(i)} & m_{12}^{(i)} \end{matrix}\right] = 0$

Entonces$m_{12}^{(i)} = 0$y, para que$\theta_{1}\theta_{2} \neq 0$,$m_{21}^{(i)}$no puede ser el único componente distinto de cero. Por lo tanto, elegir$m_{21}^{(i)} = 0$nos quedamos con$m_{22}^{(i)}=-m_{11}^{(i)}$para$i=1$y/o$2$. Configuración$m_{22}^{(2)}=-m_{11}^{(2)}=-1$y$m_{22}^{(1)}=m_{11}^{(1)}=1$las representaciones se convierten

$\theta_1 = \tilde{\theta}_1 \otimes M_1 = \left[\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right] \otimes \left[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}\right] \\ \theta_2 = M_2 \otimes \tilde{\theta}_2 = \left[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix}\right] \otimes \left[\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{matrix}\right]$

Una observación final sería que una transformación de similitud$\theta_{i}\to S \theta_{i} S^{-1}$deja el álgebra invariante (realizado simultáneamente en todos los$\theta_i$).

¡Espero que esto haya ayudado! Si algo no quedó claro, por favor pregunte.

Acabo de notar que también pediste la representación de Dirac.$\gamma$-matrices. Dada una representación conjugada de los números de Grassmann tal que

$\{\theta_i,\pi_j\} = \delta_{ij}, \quad \{\pi_{i},\pi_{j}\} = 0$

con$i=1,...,N$Entonces un$2N$El álgebra de Clifford bidimensional se puede construir mediante

$\gamma_{i}=\theta_{i}+\pi_{i}\\ \gamma_{N+i}=i(\theta_{i}-\pi_{i})$

Entonces es sencillo verificar que$\{\gamma_{i},\gamma_{j}\}=2\delta_{ij}\mathbf{1}$. Para un número impar de dimensiones, la última$\gamma$-la matriz se puede encontrar considerando el producto

$\gamma_{2N+1} = i^N\prod_{i=1}^{2N}\gamma_{i} = i^N\gamma_{1}\gamma_2...\gamma_{2N}$

Para obtener una representación del álgebra de Dirac$\{\gamma_{\mu},\gamma_\nu\}=2g_{\mu\nu}\mathbf{1}$con firma (+,-,-,...,-) simplemente gire todas menos una de las matrices de modo que$\gamma_i\to i\gamma_i$(y reetiquetar un poco).

Para dar un ejemplo explícito, considere la representación de los dos números de Grassmann anteriores. La representación conjugada es entonces

$\pi_1=\left[\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right]\\ \pi_2=\left[\begin{matrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right]$

lo que conduce a la representación en 4 dimensiones del álgebra de Dirac (rotación$i=1,2,3$y reetiquetado$\gamma_4 \to \gamma_0$)

$\gamma_0=\left[\begin{matrix} 0 & 0 & -i & 0 \\ 0 & 0 & 0 & i \\ i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -i & 0 & 0 \end{matrix}\right],\quad \gamma_1=\left[\begin{matrix} 0 & i & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & i \\ 0 & 0 & i & 0 \end{matrix}\right], \quad \gamma_2=\left[\begin{matrix} 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -i \\ i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -i & 0 & 0 \end{matrix}\right]\\ \gamma_3=\left[\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{matrix}\right], \quad \gamma_{5} =\left[\begin{matrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{matrix}\right]$

Observe que se recupera una representación de cinco dimensiones si$\gamma_5 \to i\gamma_5$.

Desafortunadamente, la representación explícita encontrada no coincide ni con la base de Weyl ni con la de Dirac (aunque en realidad no importa, sigue siendo una representación válida).

Existe una expresión general para la representación matricial de$N$Números de Grassmann (llamado representación de Clifford-Jordan-Wigner), y está íntimamente relacionado con la representación matricial de la euclidiana$\gamma$-matrices en$D=2N$dimensiones ($\gamma$-matrices en$D=2N+1$y lorentziano$\gamma$-matrices son fáciles de encontrar a partir de estos). Simplemente citaré los resultados, pero llegar a ellos sigue el espíritu de la respuesta de AltLHC, es decir, explotar los productos de Kronecker para retener automáticamente la potencia nula de todas las matrices. la expresión es

La representación de los números de Grassmann que mencionó se puede obtener de la siguiente manera (para una mayor cantidad de generadores, la construcción es la misma). Dejar$G_2$sea ​​el álgebra de Grassmann en dos generadores$\theta_1,\theta_2$. Entonces$1,\theta_1,\theta_2,\theta_1\wedge\theta_2$es una base de$G_2$. Dejar$\tilde\theta_i$,$i=1,2$, ser el operador$G_2\to G_2$de la multiplicación izquierda por$\theta_i$, a saber$\tilde\theta_i(x)=\theta_i\wedge x$para cualquier$x\in G_2$. Está claro que los operadores$\tilde\theta_1,\tilde\theta_2$satisfacer las mismas relaciones que$\theta_1,\theta_2$. Entonces en la base anterior de$G_2$las matrices de$\tilde\theta_1,\tilde\theta_2$son exactamente iguales a las que escribiste.