¿Es posible escribir el oscilador armónico cuántico fermiónico usando PPP y XXX?

El hamiltoniano del oscilador armónico cuántico es

H = PAG 2 2 metro + 1 2 metro ω 2 X 2
y podemos definir operadores de creación y aniquilación
b = metro ω 2 ℏ ( X + i ω PAG ) b † = metro ω 2 ℏ ( X − i ω PAG )
donde se cumplen las siguientes relaciones de conmutación
[ X , PAG ] = i ℏ [ b , b † ] = 1
y el hamoltoniano se puede escribir
H = ℏ ω ( b † b + 1 2 ) .
Ahora bien, también se sabe que podemos definir un oscilador armónico cuántico fermiónico con el hamiltoniano
H = ℏ ω ( F † F − 1 2 )
dónde F y F † satisface la siguiente relación de anticonmutación
{ F , F † } = 1.
Lo que estoy tratando de obtener es un hamiltoniano para el oscilador armónico fermiónico usando PAG y X . He intentado definir
F = metro ω 2 ℏ ( X + i ω PAG ) F † = metro ω 2 ℏ ( − X − i ω PAG )
porque después de imponer la relación de anticonmutación { X , PAG } = i ℏ para X y PAG (como supongo que sería adecuado para un sistema fermiónico) estas definiciones de F y F † implicar { F , F † } = 1 . No obstante, para el hamiltoniano obtengo
H = PAG 2 2 metro − 1 2 metro ω 2 X 2
donde obtengo un signo menos no deseado. Mi pregunta es entonces la siguiente: ¿es posible (con una definición adecuada de F y F † en términos de X y PAG ) para obtener el primer hamiltoniano que he escrito a partir del oscilador fermiónico hamiltoniano escrito en términos de F y F † ?

Un problema que tienes es que F † como usted define, no es el conjugado hermitiano de F , porque lo requieres X † = X y PAG † = PAG .
Y creo que te pierdes un factor de metro justo en frente de PAG en su definición de operadores de creación.
@sagittarius_a Estoy trabajando en unidades donde metro = 1

Respuestas (3)

empecemos desde

H = ℏ ω ( F † F − 1 2 ) ,

con { F , F † } = 1 , { F , F } = 0 y definir la posición fermiónica y las coordenadas de momento por

ψ 1 = ℏ 2 ( F + F † ) ψ 2 = i ℏ 2 ( F − F † )
con las siguientes relaciones de anticonmutación:
{ ψ i , ψ j } = ℏ d i j .
Entonces, los operadores se contrarrestan entre sí y cuadran para ℏ / 2 .

Encontramos el hamiltoniano formulado en las nuevas coordenadas

H = − i ω ψ 1 ψ 2 ,

lo que claramente da lugar a un movimiento oscilatorio, como se puede ver al calcular las ecuaciones de movimiento de Heisenberg:

ψ ˙ 1 = − ω ψ 2 ψ ˙ 2 = + ω ψ 1 .

Esto no tiene la forma que esperabas que tuviera, pero eso solo muestra la rareza de los grados de libertad fermiónicos.

Asumiendo que X = X † , PAG = PAG † y [ X , PAG ] = i ℏ , Déjame intentarlo

F = metro ω 2 ℏ ( α X + β metro   ω PAG )

dónde α y β son números complejos de módulo uno. De esto se sigue que

ℏ ω ( F † F − 1 2 ) = PAG 2 2 metro + 1 2 metro ω 2 X 2 + ℏ ω ( α ∗ β X PAG 2 ℏ + α β ∗ PAG X 2 ℏ − 1 2 )

Ya ves por qué elegí α y β la forma en que lo hice. Recuperamos el hamiltoniano original si

i α ∗ β   X PAG + i α β ∗   PAG X = ! i ℏ = [ X , PAG ]

se ha completado. Por lo tanto, llegamos a la conclusión α β ∗ = i . Dos números complejos de módulo uno que cumplen esta ecuación son α = i y β = 1 y por lo tanto

F = metro ω 2 ℏ ( i X + 1 metro   ω PAG )

podría ser un posible candidato. Así que notablemente obtenemos F = i b † . Podemos comprobar el resultado insertando esta relación

F † F − 1 2 = ( − i b ) ( + i b † ) − 1 2 = b b † − 1 2 = b † b + 1 2

de donde se sigue el último paso [ b , b † ] = 1 . Pero desafortunadamente

{ F , F † } = F F † + F † F = b † b + b b † ≠ 1

y [ F , F † ] = − 1 . Siempre obtendrás un operador bosón. Lo cual tiene mucho sentido si lo piensas. Un operador de escalera fermiónico implicaría que a su sistema de repente solo le quedan dos estados, mientras que antes encontró infinitos. Si desea tener un oscilador fermiónico, algo tiene que suceder con el hamiltoniano y las suposiciones deben modificarse.

[ F , F † ] = − 1 Creo
Sí, tiene usted razón :)
¿Por qué no intentas con { X , PAG } = i ℏ en lugar de [ X , PAG ] = i ℏ ?
Esto podría funcionar. Pero no es cierto si X y PAG son los operadores de posición y momento tal como se definen normalmente en la mecánica cuántica.

Los fermiones son bestias extrañas en muchos sentidos. El primer problema con el que te encontrarás, y que imposibilitará escribir un oscilador armónico para fermiones, es el siguiente:

Los operadores de escalera de fermiones F y F † exigir que { F , F † } = 1 . Traducido a X y PAG esto significa que { X , PAG } = i ℏ . Pero también significa que { X , X } = 0 y { PAG , PAG } = 0 ya que ahora son operadores fermiónicos. Como resultado, el hamiltoniano puede tener como máximo términos bilineales en X y PAG .

especialmente los términos X 2 y PAG 2 están prohibidos, por lo que no existe un hamiltoniano de estilo "oscilador armónico".

Puede escribir llaves en MathJax usando el comando \{
como concluyes eso { F , F † } = 1 implica { X , PAG } = i ℏ ? ¿Qué fórmulas estás usando para F y F † ?
Mmm. no estoy convencido de { X , X } = 0 . ¿Puedes elaborar tu punto? desde mi entendimiento X y PAG siguen siendo operadores ordinarios de una partícula. Para tener un operador de escalera que sea fermiónico, solo necesitamos tener un sistema cuántico con dos estados posibles: el estado fundamental y el primer estado excitado.
@silvrfuck. No estoy usando ninguna fórmula aquí. Simplemente estoy argumentando que si F y F † son operadores fermiónicos, entonces también lo son X y PAG .
Considere el hamiltoniano de un sistema de dos estados dado por Pauli z matriz. El anticonmutador de esta matriz es distinto de cero. Sin embargo, los operadores de escalera serán fermiónicos.
@sagittatius_a: Tienes que pensar a qué te refieres cuando hablas de un oscilador armónico fermiónico. Estás \emph{not} describiendo una partícula fermiónica en un potencial armónico. Ese escenario todavía usa la configuración "bosónica" ordinaria. Lo que más bien estás describiendo son fermiones en segunda cuantización. Entonces realmente estás describiendo la creación y destrucción real de fermiones. En esta configuración, la anticonmutación de X y PAG proviene de la promoción de los campos X y PAG a segundos operadores cuantizados.
El hamiltoniano del problema anterior parece estar escrito en términos de 'primera' cuantización.
Los operadores de fermiones de Majorana X ∼ ( F + F † ) / 2 y pag ∼ i ( F − F † ) / 2 no satisface su requerimiento { X , X } = 0 etc. En realidad { X , X } = 1 . Entonces no es el caso que las combinaciones lineales de operadores de fermiones sean siempre nilpotentes.
¿Es posible escribir el oscilador armónico cuántico fermiónico usando PPP y XXX?
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