¿Representación de variables de Grassmann?

Puede ser una pregunta tonta, pero nunca me presentaron matemáticamente el tema. ¿Existe una representación para las variables de Grassmann usando un campo real? Por ejemplo, las matrices gamma tienen una representación, ¿no es posible para las Variables de Grassmann? La razón de una representación es que probablemente será más fácil derivar algunas de las propiedades.

Respuestas (2)

Creo que este artículo de Wikipedia lo dirá todo.

El único problema es que para norte (Quiero decir θ 1 , θ 2 , . . . θ norte ) Números de Grassmann que necesitará usar 2 norte × 2 norte matrices.

Esto parece estar relacionado con la transformación de Jordan-Wigner que asigna un sistema de fermiones a un sistema de bosones.

El siguiente código para Mathematica implementa números de Gressmann de 4 dimensiones (con 2 generadores):

Clear["Global`*"]
Unprotect[Log]; Log[0] = \[Lambda]; Protect[Log];
Unprotect[Power];
Power[0, 0] = 1;
Protect[Power];
Unprotect[Dot];
Dot[x_?NumberQ, y_] := x y;
Protect[Dot];
Matrix /: Matrix[x_?MatrixQ] := 
  First[First[x]] /; x == First[First[x]] IdentityMatrix[Length[x]];
Matrix /: NonCommutativeMultiply[Matrix[x_?MatrixQ], y_] := 
  Dot[Matrix[x], y];
Matrix /: NonCommutativeMultiply[Matrix[y_, x_?MatrixQ]] := 
  Dot[y, Matrix[x]];
Matrix /: Dot[Matrix[x_], Matrix[y_]] := Matrix[x . y];
Matrix /: Matrix[x_] + Matrix[y_] := Matrix[x + y];
Matrix /: x_?NumericQ + Matrix[y_] := 
  Matrix[x IdentityMatrix[Length[y]] + y];
Matrix /: x_?NumericQ  Matrix[y_] := Matrix[x y];
Matrix /: Matrix[x_]*Matrix[y_] := Matrix[x . y] /; x . y == y . x;
Matrix /: Power[Matrix[x_ ?MatrixQ], y_] := 
  Matrix[MatrixPower[x, y]];
Matrix /: Power[Matrix[x_?MatrixQ], Matrix[y_?MatrixQ]] := 
  Exp[Matrix[y] . Log[Matrix[x]]];
Matrix /: Im[Matrix[x_?MatrixQ]] := Matrix[Im[x]]
Matrix /: Re[Matrix[x_?MatrixQ]] := Matrix[Re[x]]
Matrix /: Arg[Matrix[x_?MatrixQ]] := Matrix[Arg[x]]

$Post2 = 
  FullSimplify[FullSimplify[# /. Subscript[\[Theta], 1] -> Matrix[( {
               {0, 0, 0, 0},
               {1, 0, 0, 0},
               {0, 0, 0, 0},
               {0, 0, 1, 0}
              } )] /. Subscript[\[Theta], 2] -> Matrix[( {
              {0, 0, 0, 0},
              {0, 0, 0, 0},
              {1, 0, 0, 0},
              {0, -1, 0, 0}
             } )] /. \[CurlyEpsilon] -> Matrix[( {
             {0, 0, 0, 0},
             {0, 0, 0, 0},
             {0, 0, 0, 0},
             {1, 0, 0, 0}
            } )] /. 
        f_[args1___?NumericQ, Matrix[mat_], args2___?NumericQ] :> 
         Matrix[MatrixFunction[f[args1, #, args2] &, mat]]] /. 
      Matrix[( {
          {a_, 0, 0, 0},
          {b_, a_, 0, 0},
          {c_, 0, a_, 0},
          {d_, _, b_, a_}
         } )] :> 
       a + b Subscript[\[Theta], 1] + c Subscript[\[Theta], 2] + 
        d \[CurlyEpsilon]] /. Matrix[( {
        {a_, 0, 0, 0},
        {b_, a_, 0, 0},
        {c_, 0, a_, 0},
        {d_, _, b_, a_}
       } )] :> 
     a + b Subscript[\[Theta], 1] + c Subscript[\[Theta], 2] + 
      d \[CurlyEpsilon] &;
$Post = Nest[$Post2, #, 3] /. Dot -> NonCommutativeMultiply &;

Prueba:

In:=Sqrt[Subscript[\[Theta], 1] + Subscript[\[Theta], 
  2] + \[CurlyEpsilon] + 5]

Out:=(10+\[CurlyEpsilon]+Subscript[\[Theta], 1]+Subscript[\[Theta], 2])/(2 Sqrt[5])
¿Representación de variables de Grassmann?
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