¿Todas las sucesiones de Cauchy en espacios métricos incompletos tienen "límites naturales" que simplemente se encuentran fuera del espacio?

La definición estándar de un espacio métrico completo es que todas las sucesiones de Cauchy convergen en el espacio. Es fácil pensar en ejemplos en los que una secuencia de Cauchy tiene un límite natural que simplemente no está en el espacio (p. ej., cualquier secuencia en q que debería converger a un número irracional). Sin embargo, esta forma de pensar puede confundirse con el cierre. Por lo general, trato de diferenciar los dos pensando en la completitud más como una propiedad de la métrica que una propiedad del espacio: en un espacio métrico completo, cualquier secuencia que no tenga un límite no será Cauchy porque la métrica será ser más "apropiado" en algún sentido. Para diferenciar aún más entre completitud y cierre, me pregunto si hay ejemplos de secuencias de Cauchy en espacios métricos incompletos que no tienen un "límite natural" en un espacio más grande, aunque esto me parece poco probable. (Pregunto esto porque es una forma diferente en que una secuencia de Cauchy no convergería en el espacio; en lugar de converger en algo fuera del espacio, no convergería en absoluto).

Debe buscar sobre la finalización de un espacio métrico.
Estoy familiarizado con la terminación de un espacio métrico. Me gusta pensar en la finalización de un espacio métrico como un espacio de clases de equivalencia de secuencias donde las secuencias son equivalentes si convergen en el mismo valor, y los elementos en el espacio original se pueden considerar como secuencias constantes. Supongo que otra forma de pensar en la finalización es simplemente agregando límites de secuencias de Cauchy, aunque eso plantea la pregunta.
En realidad, eso no plantea la pregunta, eso responde la pregunta, porque puede definir clases de equivalencia de secuencias de Cauchy sin invocar el concepto de "convergencia al mismo valor". Ese es el punto central de la construcción de la finalización de un espacio métrico.
Además, su ejemplo de q no es muy apto. Una de las construcciones axiomáticas comunes de R es, simplemente, como la culminación de q (es decir, uno define las sucesiones de Cauchy en q , y clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy, puramente en términos de la q métrica valorada d ( r , s ) = | r − s | ).
@LeeMosher, sí, entiendo que el espacio de clase de equivalencia no plantea la pregunta, pero estaba comentando que simplemente pensar en la finalización como lo haría agregar elementos de un espacio ambiental más grande (sin asumir que todas las secuencias de Cauchy tienen un límite natural en el espacio ambiental, ¿Qué elementos agregas?). Este problema conceptual no existe cuando se piensa en la terminación en términos de clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy, ya que las mismas sucesiones de Cauchy son en cierto sentido los elementos "añadidos".
En ese caso, lo que está preguntando se ve bastante borroso, y estoy teniendo dificultades para encontrar una pregunta matemática real aquí.

Respuestas (1)

Hay algo que se llama la terminación de un espacio, y básicamente tomas como "espacio mayor" el conjunto de secuencias de Cauchy. Debes tener un poco de cuidado, porque quieres identificar secuencias que "piensas que deberían converger en la misma cosa". Esto se formaliza diciendo que dos secuencias a norte , b norte son iguales si la secuencia alterna

C 2 norte := a norte , C 2 norte + 1 = b norte

es una sucesión de Cauchy. Es un ejercicio muy instructivo ver que las métricas se extienden a este espacio, que este espacio está completo y que hay un mapa desde el espacio original hasta la finalización, de modo que el espacio original es denso.

También hay un camino más rápido a las soluciones de lo anterior: google.

¿Todas las sucesiones de Cauchy en espacios métricos incompletos tienen "límites naturales" que simplemente se encuentran fuera del espacio?
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