Cómo verificar la convergencia de la secuencia en el espacio métrico completo.

Question

Cómo verificar la convergencia de la secuencia en el espacio métrico completo.

Matemáticas
espacios métricos
secuencias de cauchy
secuencias y series
convergencia divergencia

Kushal Bhuyan

Dejar $\{x_n\}$ y $\{y_n\}$ ser dos sucesiones en un espacio métrico completo $(X,d)$ tal que

$d(x_n,x_{n+1})\le\frac{1}{n^2}$

$d(y_n,y_{n+1})\le \frac{1}{n}$ , para todos $n\in \mathbb{N}.$

Entonces, ¿qué secuencia convergería? Justificar.

Ahora, dado que el espacio es completo, toda sucesión de Cauchy es convergente. Dejar $X=\mathbb{R}$ y $d$ , la métrica habitual. Entonces tomo la secuencia de sumas parciales de la serie armónica $\{H_n\}_{n\ge1}$ , entonces

d (H_{norte}, H_{norte + 1}) = | H_{norte + 1} - H_{norte} | = 1 / (norte + 1) \leq 1 / norte

$d(H_n,H_{n+1})=|H_{n+1}-H_n|=1/(n+1)\le1/n$ Pero

H_{n}

$H_n$ no es una sucesión de Cauchy por lo que no converge en

X

$X$ .

Entonces 2 no necesitan converger.

¿Es correcto mi razonamiento? También tengo la sensación de que siempre convergería, pero no he podido demostrarlo. Alguien me puede ayudar con eso? Gracias.

Will Jagy

para grande

M < N,

$M < N,$ que tan grande es

\sum_{j = M + 1}^{N} \frac{1}{j^{2}} ?

$\sum_{j =M+1}^N \; \frac{1}{j^2} \; \; ?$

Respuestas (1)

Cómo verificar la convergencia de la secuencia en el espacio métrico completo.

para grande $M < N,$ que tan grande es $\sum_{j =M+1}^N \; \frac{1}{j^2} \; \; ?$

Theo Bendit · Answer 1

Tu razonamiento es bueno.

Para 2, usa la desigualdad triangular para mostrar que, para $m < n$ ,

d (X_{norte}, X_{metro}) \leq \sum_{k = metro}^{norte - 1} d (X_{k}, X_{k + 1}) .

$d(x_n, x_m) \le \sum_{k = m}^{n - 1} d(x_k, x_{k+1}).$ Cauchiness se deriva de la convergencia de

\sum \frac{1}{n^{2}}

$\sum \frac{1}{n^2}$ .

Cómo verificar la convergencia de la secuencia en el espacio métrico completo.

Kushal Bhuyan

Will Jagy

Respuestas (1)

Theo Bendit

Mostrando que la secuencia es una secuencia de Cauchy

Demostrar que el espacio métrico de todas las sucesiones de enteros positivos es completo

¿Por qué queremos espacios completos? ¿No usamos simplemente espacios cerrados?

La secuencia de Cauchy en el espacio finito es eventualmente constante

Número infinito de términos de una sucesión de Cauchy en una unión de conjuntos cerrados disjuntos

Si la serie dada es convergente o divergente.

Teorema 3.55 en Baby Rudin: ¿Cómo dar sentido a la demostración?

∑∞n=0ak∑n=0∞ak\sum_{n=0}^\infty a_k converge absolutamente y ∑∞n=0bk∑n=0∞bk\sum_{n=0}^\infty b_k converge ¿Hace esto implica que ∑∞n=0bksin(ak)∑n=0∞bksin⁡(ak)\sum_{n=0}^\infty b_k\sin(a_k) converge?

¿Cuáles de los siguientes espacios métricos son completos?

convergencia de la serie ∑un,un=nnxnn!∑un,un=nnxnn!\sum u_n, u_n = \frac{n^nx^n}{n!} para x>0x>0x>0