Diferencia en las definiciones de sucesión de cauchy en Secuencia Real y en Espacio Métrico.

He leído dos definiciones de secuencia de Cauchy con un resultado.

En secuencia real:

Una secuencia {$a_n$} se llama sucesión de Cauchy si para cada$\epsilon >0$, existe un entero positivo m tal que$|a_{n_1} - a_{n_2}| < \epsilon$,$\forall n_1,n_2 \geq m$

Resultado: una sucesión es convergente si es una sucesión de Cauchy.

En el espacio métrico:

Una secuencia {$a_n$} de puntos de$(X,d)$se llama sucesión de Cauchy si para cada$\epsilon >0$, existe un entero positivo$n_0$tal que$d(x_n,x_m) < \epsilon$,$\forall n,m \geq n_0$

Resultado: Toda sucesión convergente es una sucesión de Cauchy pero la inversa no es verdadera. Contraejemplo: considere un espacio$X = (0,1]$con el espacio métrico habitual. Llevar {$a_n$} = {$\frac{1}{n}$} es una secuencia de Cauchy converge a 0 pero$0 \notin X$

Mi pregunta es que: Hay una diferencia entre estos resultados, ¿por qué?