Demuestre que es incorrecta la siguiente afirmación sobre espacios métricos y completitud

Question

Demuestre que es incorrecta la siguiente afirmación sobre espacios métricos y completitud

Matemáticas
espacios métricos
espacios-completos

Gregorio Peck

Declaración :

Dada la condición:

$d(x,y)^2 \leq g(x,y) \leq d(x,y) \space \forall \space x,y \in M$

Si $(M,d)$ esta completo entonces $(M,g)$ Esta completo

Pregunta :

Demuestre o proporcione un contraejemplo a la afirmación anterior.

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Tengo serias dificultades para encontrar 2 funciones de distancia que satisfagan la condición anterior, y mucho menos para encontrar un contraejemplo.

He considerado las funciones de distancia

$d(x,y)=\left\{\begin{matrix} 0 \iff x=y\\ \frac{1}{2} \iff x \neq y \end{matrix}\right.$

y

$g(x,y)=\left\{\begin{matrix} 0 \iff x=y\\ \frac{1}{3} \iff x \neq y \end{matrix}\right.$

Éstos satisfacen la condición pero ambos están completos en cualquier $M$ asumiendo $\frac{1}{2}, \frac{1}{3} \in M$

¿Alguien puede explicar un enfoque intuitivo y metódico para encontrar esa respuesta? Incluso guiarme a la respuesta sin darme explícitamente está bien. Me gustaría saber cómo podría abordarlo. Gracias.

Ben Grossman

Las métricas discretas y los espacios finitos no funcionarán: necesitaría una secuencia que converja en una de las dos métricas.

ben millwood

Nota al margen: usted dice "asumiendo

\frac{1}{2}, \frac{1}{3} \in M

$\frac{1}{2}, \frac{1}{3} \in M$ ", pero no creo que sea necesario? ¿Por qué crees que importa?

Gregorio Peck

Lo siento. Hice la suposición de que las distancias deben existir en

M

$M$ que no tiene por qué ser cierto, ahora que lo pienso.

Respuestas (2)

Demuestre que es incorrecta la siguiente afirmación sobre espacios métricos y completitud

Las métricas discretas y los espacios finitos no funcionarán: necesitaría una secuencia que converja en una de las dos métricas.
Nota al margen: usted dice "asumiendo $\frac{1}{2}, \frac{1}{3} \in M$ ", pero no creo que sea necesario? ¿Por qué crees que importa?
Lo siento. Hice la suposición de que las distancias deben existir en $M$ que no tiene por qué ser cierto, ahora que lo pienso.

Aprende más · Answer 1

$(x_n)$ Cauchy en $(M,g)\implies g(x_n,x_m)\to 0$ como $n,m\to \infty\implies$

$d(x_n,x_m)^2\leq g(x_n,x_m)\to 0 \implies d(x_n,x_m)\to 0\implies x_n$ es un Cauchy en $(M,d)$

$\implies x_n\to x$ para algunos $x\in M\implies d(x_n,x)\to 0$ como $n\to \infty$

$\implies g(x_n,x)\leq d(x_n,x)\to 0\implies x_n\to x$ en $(M,g)$

De este modo $(M,g)$ Esta completo

Ben Grossman · Answer 2

No hay contraejemplo porque el enunciado es verdadero. Para demostrar que este es el caso: primero, demuestre que una sucesión es Cauchy en una métrica si y si es Cauchy en la otra. A continuación, demuestre que $x_n\to x$ en una métrica iff $x_n\to x$ en el otro.

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Gregorio Peck

Ben Grossman

ben millwood

Gregorio Peck

Respuestas (2)

Aprende más

Ben Grossman

Es (R∗,d)(ℝ∗,d)(ℝ^*,d) completo donde d(x,y)=|x−y|+|x−1−y−1|d(x,y) =|x−y|+|x−1−y−1|d(x,y)=|xy|+|x^{-1}-y^{-1}|?

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