Demostrar que el espacio métrico de todas las sucesiones de enteros positivos es completo

Ayuda pensar en el comportamiento de una secuencia de Cauchy por un momento.

Considere una sucesión de Cauchy$x_n$. Arreglemos nuestra notación,$x_n = (x_{n,i})_{i=1}^\infty$.

Para cualquiera de los dos$m,n \ge 1$, la distancia$d(x_m,x_n)$toma valores en el conjunto$\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\ldots\}$.

Pensando en el criterio de Cauchy, parece interesante elegir un número entero$K \ge 1$y considerar$\epsilon < \frac{1}{K}$. El criterio de Cauchy garantiza la existencia de un número entero$M$para que si$m,n \ge M$entonces$d(x_m,x_n) < \epsilon$, y de esa desigualdad se sigue que las dos sucesiones$x_m$y$x_n$tener las mismas entradas para$i=1,...,K$:$x_{m,1}=x_{n,1}$;$x_{m,2}=x_{n,2}$, y así hasta$x_{m,K}=x_{n,K}$.

De esto se puede concluir:

Paso 1. La primera entrada$x_{m,1}$se vuelve constante para suficientemente grande$m$, decir$m \ge M_1$. Que esa entrada se denote$a_1$.

Paso 2. La segunda entrada$x_{m,2}$se vuelve constante para suficientemente grande$m$, decir$m \ge M_2 \ge M_1$. Que esa entrada se denote$a_2$.

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Paso$k$. El$k^{\text{th}}$entrada$x_{m,k}$se vuelve constante para suficientemente grande$m$, decir$m \ge M_k \ge M_{k-1}$. Que esa entrada se denote$a_k$.

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Continuando por inducción, obtenemos una sucesión$a = (a_1,a_2,\ldots)$, que me parece una muy buena estimación del límite de la secuencia$x_n$.