Es (R∗,d)(ℝ∗,d)(ℝ^*,d) completo donde d(x,y)=|x−y|+|x−1−y−1|d(x,y) =|x−y|+|x−1−y−1|d(x,y)=|xy|+|x^{-1}-y^{-1}|?

Dejar$X=\mathbb{R}^*$y$\forall(x,y)\in X^2$,$d(x,y)=|x-y|+|x^{-1}-y^{-1}|$. Es$(X,d)$un espacio métrico completo?

Dejar$(a_n)$Sea una sucesión de Cauchy en$(X,d)$. Entonces$\forall\epsilon>0,\exists n_\epsilon\in\mathbb N,p,q\geq n_\epsilon\implies d(a_p,a_q)<\epsilon$. Esto implica que$(a_n)$también es Cauchy en$(X,d_1)$y$(X,d_2)$dónde$d_1$es la métrica habitual en$\mathbb R$y$\forall(x,y)\in X^2, d_2(x,y)=|x^{-1}-y^{-1}|$.

A partir de ahí, todavía estoy debatiendo si quiero encontrar un contraejemplo que muestre que el espacio inicial no está completo o mostrar que una secuencia es Cauchy en el espacio original con la condición adicional de que no es posible que converja a$0$en ese caso$(X,d)$debería estar completo. No estoy seguro si puede ayudar, pero anteriormente me preguntaron si el gráfico de$x\in X\mapsto x^{-1}$estaba cerrado en$(\mathbb R^2,\delta)$dónde$\delta$es la métrica habitual en$\mathbb R^2$.