Muestre que la imagen de un espacio métrico completo bajo un mapa continuo también es completa dada una condición adicional.

Este es un problema del material de revisión para una clase de análisis funcional. Dejar$(X,d)$y$(C,p)$sean dos espacios métricos y sean$f:X\rightarrow C$Sea una función continua con$f(X)=C$.

Asumiendo$(X,d)$es completo y arbitrario$x,y\in X$eso$d(x,y)\leq p(f(x),f(y))$dar una breve prueba de que$(C,p)$Esta completo.

Hasta ahora sé que el criterio de completitud es que todas las secuencias de Cauchy en el espacio convergen en un punto límite en ese espacio. Y sé que una función uniformemente continua asignará una secuencia de Cauchy a una secuencia de Cauchy. Pero dado que esta función es simplemente continua, de alguna manera la condición adicional debe hacer que conserve las secuencias de Cauchy.

Intento:
Desde$X$es una sucesión de Cauchy completa${x_n}$converge en un punto$x\in X$.
Desde$f$es una función continua$f(x_n)$debe converger a$f(x)$.
Desde$x \in X$,$f(x)\in f(X)=C$
Desde$f(x_n)$es convergente entonces también debería ser Cauchy.

Mi problema es que no he usado la condición adicional y sé que la continuidad por sí sola no es suficiente para preservar las secuencias de Cauchy. ¿Dónde me he equivocado y cómo puedo proceder?