elegir el espacio métrico completo?

dejar$d(x,y)$sea ​​la métrica euclidiana habitual en$\mathbb{R}^2$.

¿Cuál de los siguientes espacios métricos es completo?

1. $\mathbb{Q}^2 \subset \mathbb{R}^2$con la métrica$d(x,y)$

2. $(0,\infty) \times [0,\infty) \subset \mathbb{R}^2$con la métrica$d(x,y)$

3. $[0,1] \times [0,1) \subset \mathbb{R}^2$con la métrica$d''(x,y) = \min \{1,d(x,y)\}$.

4. ninguno de esos

mis intentos; Yo sé eso$\mathbb{Q}$no es un espacio métrico completo por lo que$\mathbb{Q}^2$tampoco es un espacio métrico completo ... así que opción$1$no es cierto...y por opcion$2$

....$d(x,y)$puede o no ser un espacio métrico completo. supongo que tomo

$d(x,y)= |e^x - e^y|$que no esta completo

ahora la opción para$3$..$d''(x,y) = \min\{1,d(x,y)\} = 1$es espacio completo

como toda sucesión de Cauchy es constante, también es convergente. entonces lo correcto

la respuesta es opcion$3$eso$d''(x,y) = \min\{1,d(x,y)\}$es espacio métrico completo.

si mi respuesta es correcta o no ... por favor verifica y dime la solución . estaria mas agradecido