¿Existe un espacio métrico incompleto con exactamente una sucesión de Cauchy no convergente?
¿Qué pasa con los espacios normados? Si es una sucesión de Cauchy no convergente en un espacio normado, entonces también es Cauchy y no convergente, para cada escalar distinto de cero . ¿Es posible que un espacio que no sea de Banach tenga solo una secuencia de Cauchy no convergente, hasta la multiplicación por escalar?
No tengo suficiente reputación para comentar así que:
@Marios Gestas Sé que siempre puedes encontrar muchas secuencias de Cauchy convergentes. Pregunté si era posible encontrar un espacio con una sola secuencia de Cauchy no convergente .
@Joey Zou Me perdí por completo el hecho de que puedes tomar subsecuencias. Parece tan obvio ahora.
@EugenR Esto inmediatamente dio una respuesta a mi pregunta de seguimiento: parece que tampoco existe un espacio normado donde todas las secuencias de Cauchy no convergentes son subsecuencias o permutaciones entre sí. Voté tu respuesta.
Una secuencia de Cauchy con solo un número finito de términos distintos debe ser eventualmente constante y, por lo tanto, converge; por tanto, una sucesión de Cauchy que no converge debe contener un número infinito de términos distintos. Cualquier subsecuencia de una secuencia de Cauchy no convergente es también una secuencia de Cauchy no convergente.
Por lo tanto, si existe una secuencia de Cauchy no convergente, entonces debe contener un número infinito de términos distintos y, por lo tanto, tiene un número infinito de subsecuencias, y cada subsecuencia debe ser también una secuencia de Cauchy no convergente.
La suma de la secuencia convergente y no convergente es no convergente. Por lo tanto, asumiría que tal espacio no existe.
Ejemplo: es no convergente, entonces para cualquier secuencia en tal que para , nueva secuencia