¿Cuáles de los siguientes espacios métricos son completos?

Question

¿Cuáles de los siguientes espacios métricos son completos?

Matemáticas
espacios métricos
espacios-completos
secuencias de cauchy

Balbichi

[NBHM_2006_PhD Screening test_Topology]

¿Cuáles de los siguientes espacios métricos son completos?

$X_1=(0,1), d(x,y)=|\tan x-\tan y|$

$X_2=[0,1], d(x,y)=\frac{|x-y|}{1+|x-y|}$

$X_3=\mathbb{Q}, d(x,y)=1\forall x\neq y$

$X_4=\mathbb{R}, d(x,y)=|e^x-e^y|$

$2$ es completo como subconjunto cerrado de un espacio métrico completo es completo y la métrica también es equivalente a nuestra métrica habitual.

$3$ también es completa ya que cada secuencia de Cauchy es constante en última instancia, por lo tanto, convergente.

$4$ no está completo Estoy seguro pero no puedo encontrar un contraejemplo, no estoy seguro acerca de 1.gracias por la ayuda.

Respuestas (1)

¿Cuáles de los siguientes espacios métricos son completos?

Brian M Scott · Answer 1

Brian M Scott

Para (1), considere la secuencia $\left\langle\frac1{2^n}:n\in\Bbb N\right\rangle$ . Lo es $d$ -¿Cauchy? ¿Converge a algo en $X_1$ ?

Para (4), ¿qué pasa con $\langle -n:n\in\Bbb N\rangle$ ?

Balbichi

para 1

d (\frac{1}{2^{n}}, 0) = | \tan (\frac{1}{2^{n}}) - 0 | \to π / 2

$d(\frac{1}{2^n},0)=|\tan (\frac{1}{2^n})-0|\rightarrow \pi/2$ y por 4,

d (- n, 0) = | 1 / e^{n} - 1 | \to 1

$d(-n,0)=|1/e^n-1|\rightarrow 1$ , ambos son una secuencia de cauchy con respecto a la métrica especificada.

Brian M Scott

@Paciencia: No:

\tan \frac{1}{2^{n}} \to 0

$\tan\frac1{2^n}\to 0$ como

n \to \infty

$n\to\infty$ . Pero en ambos casos te estás perdiendo el punto: para ver si las secuencias son Cauchy, debes considerar

| x_{n} - x_{m} |

$|x_n-x_m|$ .

Balbichi

Vaya, lo siento, ambas son secuencias caucásicas pero no convergen en el espacio. como

0

$0$ Está perdido.

Brian M Scott

Casi acertado: los dos son Cauchy, y el primero no converge en el espacio porque

0

$0$ Está perdido; este último no converge en

R

$\Bbb R$ porque

R

$\Bbb R$ no tiene punto final izquierdo.

Balbichi

no entiendo tu ultima linea :(

Brian M Scott

@Patience: Fue una explicación no rigurosa de por qué

⟨ - n : n \in Z^{+} ⟩

$\langle -n:n\in\Bbb Z^+\rangle$ no converge en

R

$\Bbb R$ : a medida que se mueve hacia la izquierda en

Z^{+}

$\Bbb Z^+$ , los puntos se acercan cada vez más con respecto a

d

$d$ , pero no hay

- \infty

$-\infty$ para que se acerquen. Para una prueba rigurosa de que

⟨ - n : n \in Z^{+} ⟩

$\langle -n:n\in\Bbb Z^+\rangle$ no converge en

R

$\Bbb R$ , sólo dejalo

x \in R

$x\in\Bbb R$ y muestre que para cada

ϵ > 0

$\epsilon>0$ hay infinitamente muchos

n

$n$ tal que

d (- n, x) > ϵ

$d(-n,x)>\epsilon$ , demostrando así que

x

$x$ no es el límite de la secuencia.

007resu

@BrianM.Scott, no es la distancia aquí

d (x, y) = | e^{x} - e^{y} |

$d(x,y)=|e^x-e^y|$ Desde

| e^{- x} - e^{- y} | = | 1 / e^{x} - 1 / e^{y} | \to 0

$|e^{-x}-e^{-y}|=|1/{e^x}-1/{e^y}| \rightarrow 0$ como

x, y \to \infty

$x,y\rightarrow \infty$ Parece que la secuencia converge a 0.

Brian M Scott

@Freddy: Lo que has mostrado es que la secuencia es Cauchy. Pero la secuencia en sí no tiene límite en

R

$\Bbb R$ , que es el punto del ejemplo.

007resu

Perdón por mi confusión y gracias!

Brian M Scott

@Freddy: No hay problema: siempre es mejor aclarar las confusiones. ¡De nada!

suspiromatemáticas

@BrianM.Scott, ¿alguien puede explicar 4 nuevamente? es muy duro. por favor

Brian M Scott

@SighMath: La secuencia

⟨ - n : n \in N ⟩

$\langle -n:n\in\Bbb N\rangle$ no tiene límite en

R

$\Bbb R$ . Para cualquier

ϵ > 0

$\epsilon>0$ ciertamente hay un

m_{ϵ} \in N

$m_\epsilon\in\Bbb N$ tal que

e^{- m_{ϵ}} < ϵ

$e^{-m_\epsilon}<\epsilon$ . Suponer que

k, n \geq m_{ϵ}

$k,n\ge m_\epsilon$ . Sin pérdida de generalidad podemos suponer que

k \leq n

$k\le n$ . Entonces

d (- k, - norte) = | {mi}^{- k} - {mi}^{- norte} | = {mi}^{- k} - {mi}^{- norte} < {mi}^{- k} \leq {mi}^{- {metro}_{ϵ}} < ϵ,

$d(-k,-n)=|e^{-k}-e^{-n}|=e^{-k}-e^{-n}<e^{-k}\le e^{-m_\epsilon}<\epsilon\;,$ y hemos demostrado que la secuencia es

d

$d$ -Cauchy. Es decir, es un

d

$d$ -Secuencia de Cauchy que no converge, por lo que

d

$d$ no está completo.

usuario464147

@BrianM.Scott Señor, seguí su pista,

d (\frac{1}{2^{n}}, \frac{1}{2^{m}})

$d(\frac{1}{2^n},\frac{1}{2^m})$

= | t a n (\frac{1}{2^{n}}) - t a n (\frac{1}{2^{m}}) |

$=|tan(\frac{1}{2^n})-tan(\frac{1}{2^m})|$

= | t a n (\frac{1}{2^{n}} - \frac{1}{2^{m}}) (1 - t a n (\frac{1}{2^{n}}) t a n (\frac{1}{2^{m}})) |

$=|tan(\frac{1}{2^n}-\frac{1}{2^m})(1-tan(\frac{1}{2^n})tan( \frac{1}{2^m}))|$ , que converge a

0

$0$ como

m, n

$m,n$ tiende a

\infty

$\infty$ . por lo tanto es cauchy ¿Tengo razón? Cómo probar que no converge a un punto en

X_{1}

$X_1$ ? Por favor, ayúdame.

Martín Sleziak

@ManeeshNarayanan He intentado responder en el chat .

usuario464147

@MartinSleziak Está bien, señor. tengo el punto Si cualquier espacio euclidiano con una función

d : X \times X \to R

$d:X×X→\mathbb R$ es dado. No es suficiente mostrar que dado

d

$d$ es métrico y el subespacio es completo? utilizando el hecho de que todas las normas son equivalentes en espacios vectoriales finitos. ¿He ido en la dirección equivocada?

usuario464147

@MartinSleziak Señor, por favor ayúdeme.

Martín Sleziak

No estoy muy seguro de cómo debería ayudarte exactamente. ¿Por qué no te unes a la sala de chat que sugerí @ManeeshNarayanan y explicas claramente cuál es el problema?

usuario464147

@MartinSleziak Lo intenté varias veces. No puedo escribir dos en el chat. no sé por qué

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Balbichi

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007resu

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007resu

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suspiromatemáticas

Brian M Scott

usuario464147

Martín Sleziak

usuario464147

usuario464147

Martín Sleziak

usuario464147

¿Todas las sucesiones de Cauchy en espacios métricos incompletos tienen "límites naturales" que simplemente se encuentran fuera del espacio?

Demostrar que el espacio métrico de todas las sucesiones de enteros positivos es completo

Es (R∗,d)(ℝ∗,d)(ℝ^*,d) completo donde d(x,y)=|x−y|+|x−1−y−1|d(x,y) =|x−y|+|x−1−y−1|d(x,y)=|xy|+|x^{-1}-y^{-1}|?

elegir el espacio métrico completo?

Mostrando que si un subconjunto de un espacio métrico completo es cerrado, también es completo

Cómo verificar la convergencia de la secuencia en el espacio métrico completo.

Demuestre que es incorrecta la siguiente afirmación sobre espacios métricos y completitud

Espacio métrico incompleto o espacio normado con una sola sucesión de Cauchy no convergente

Muestre que la imagen de un espacio métrico completo bajo un mapa continuo también es completa dada una condición adicional.

Diferencia en las definiciones de sucesión de cauchy en Secuencia Real y en Espacio Métrico.