Mostrando que si un subconjunto de un espacio métrico completo es cerrado, también es completo

Para mostrar esto, se debe comenzar con una sucesión de Cauchy, no una sucesión convergente. Dejar$(x_n)$Sea una sucesión de Cauchy en$A$. Entonces$(x_n)$es una sucesión de Cauchy en$X$. Desde$X$Esta completo,$x_n\to x$para algunos$x\in X$. Desde$A$está cerrado,$x\in A$. Por eso$A$Esta completo.

Dejar$(M,d)$sea ​​un espacio métrico completo, y sea$A \subseteq M$. Suponer$A$está cerrado.

Afirmar. $(A,d)$Esta completo.

Prueba. Dejar$(x_n)$Sea una sucesión de Cauchy en$A$. Entonces$(x_n)$es una sucesión de Cauchy en$(M,d)$(trivial de verificar). Entonces$x_n \to x \in M$. Pero$A$es cerrado, por lo que contiene todos sus puntos límite. Entonces$x \in A$. Por eso,$(A,d)$Esta completo.

Aquí se entiende que la métrica utilizada en el subconjunto dice$N$es el mismo que se usa en$M$, el súper conjunto. Dejar$(x_n)$ser una secuencia (Cauchy) en$N$. Considerándolo como una secuencia en$M$, sigue siendo una sucesión de Cauchy en$M$, y así desde$M$es completo, converge en$M$(decir a$x$). Desde,$x_n$pertenece a$N$y$x_n \to x$y$N$está cerrado (todos los puntos de acumulación/racimo están contenidos en$N$),$x$pertenece a$N$. De este modo$(x_n)$converge en$N$, y entonces$N$Esta completo.

Pista: Estás en el camino correcto, creo. Cualquier sucesión de Cauchy converge a algún$b\in X$.

Sea A un subconjunto cerrado de un espacio métrico completo X. Considere una sucesión de Cauchy$(x_n)$en A. Esta secuencia también es cauchy en X y, por lo tanto, es convergente, ya que X es completa. Dejar$x_n \to x$dónde$x \in X$. Este es un punto límite de A y A siendo cerrado contiene sus puntos límite. De este modo,$x \in A$.