¿Tiene |⟨p|ψ⟩|2|⟨p|ψ⟩|2\lvert\langle p\lvert\psi\rangle\rvert^2 algún significado?

solía pensar$\lvert\langle p\lvert\psi\rangle\rvert^2$tenía el significado de alguna probabilidad de que el impulso de la partícula fuera$p$(dentro de algún intervalo de tolerancia$\Delta p$). Ahora solo estoy confundido.

$\rho(p)=\lvert\langle p|\psi\rangle\rvert^2$es solo otra notación para$\lvert\tilde{\psi}(p)\rvert^2$dónde

$$\tilde{\psi}(p) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int \psi(q)e^{-i\frac{pq}{\hbar}}dq.$$

Se supone (y matemáticamente funciona bien) que así como$\int_{q_1}^{q_2}|\psi(q)|^2dq$da probabilidad de que$q\in(q_1,q_2)$,

$$\int_{p_1}^{p_2}\lvert\tilde{\psi}(p)\rvert^2dp$$

da probabilidad de que$p\in(p_1,p_2)$-

Sin embargo, me cuesta creer que la distribución de velocidades de estos dos casos sea exactamente igual.

Tómelo como una receta para calcular la distribución de velocidades de la mejor manera que podamos. No refleja necesariamente las velocidades reales.

En el límite clásico (gran número de nodos dentro de algún espacio$DX$), se debería poder hablar de una distribución de velocidades cerca de una posición$x$. debería ser algo como$0.5\delta(v-v_c)+0.5\delta(v+v_c)$dónde$v_c=\sqrt{2T/m}$. ¿Cómo se compara esta distribución con cualquier significado que podamos obtener de la distribución sin posición?$\lvert\langle p\lvert\psi\rangle\rvert^2$?

Si usted tiene$q$-distribución de probabilidad dependiente para$p$, siempre puede calcular la distribución de probabilidad marginal para$p$(sin tener en cuenta el valor de$q$) como

$$\mu(p) = \int_{-\infty}^{\infty} \rho_q(p) dq$$ y compararlo con $\rho(p)$. Si $\mu(p)$y $\rho(p)$no está de acuerdo, entonces puede pensar por qué es eso y cuál prefiere como una mejor descripción.

Lo que nos impide hablar de la probabilidad de encontrar una partícula con cantidad de movimiento$\mathbf p$en la posición$\mathbf x$en mecánica cuántica? Por supuesto, es la no conmutatividad de$\hat x$y$\hat p$, o en términos más físicos, el principio de incertidumbre de Heisenberg

$$\Delta x \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}.$$ Esta es la razón por la cual la función de Wigner mencionada por Void no es una distribución de probabilidad no negativa adecuada.

Pero tratemos de minimizar el efecto del principio de Heisenberg. Recordar que

$$I = \int \phi(x)^*\psi(x) \, dx$$ es una medida de la superposición de los estados $\phi$y $\psi$. En particular, la probabilidad de encontrar el estado $\phi$es $P = |I|^2$. Ahora, considere el siguiente estado $$\phi(x; p,x') = C_1\exp\big[ -C_2(x-x')^2 + ipx]$$ dónde $C_1$y $C_2$son algunas constantes de normalización sin importancia. No es demasiado difícil demostrar que los valores esperados de $\hat x$y $\hat p$en este estado se encuentran $x'$y $p$. Además, para este estado $\Delta x \Delta p = \hbar/2$, lo que significa que la incertidumbre es mínima . Defina así la función de Husimi $$Q(x',p) = \left | \int \phi(x; x', p)^* \psi(x) \, dx\right|^2$$ que luego da la probabilidad de encontrar un estado de incertidumbre mínima con cantidad de movimiento $p$en $x$.

La función de Husimi se puede relacionar con la función de Wigner y viceversa, y se puede usar para calcular cualquier cosa para la que se pueda usar la función de Wigner.

Interpretando la corriente de probabilidad$\vec{j}$como una corriente real que determina una especie de velocidad bohmiana de una corriente de fluido (conjunto estadístico) no se puede mezclar con la interpretación habitual de la mecánica cuántica, lo más importante es que no se puede mezclar con el principio de superposición.

Considere el siguiente ejemplo: tomamos una función de onda$\sim e^{-ikx}$, esta función de onda representaría un conjunto de transmisión de velocidad$k$en el cuadro de Bohm ($\hbar=m=1$). Superpongámoslo ahora con un conjunto de velocidad$-k$, es decir$\sim e^{ikx}$, de modo que obtenemos partículas en contracorriente. Eso significa que, desde el punto de vista de Bohm, obtendremos dos conjuntos de transmisión contraria que dan una velocidad cero y una distribución de probabilidad espacial plana, ¿verdad? No exactamente. Nuestra función de onda resultante es

$$\psi_{\pm k} \sim \cos(kx)$$ con la distribución de probabilidad $\sim 1+cos(2kx)$. De repente, las trayectorias bohmianas no fluyen pacíficamente, sino que se congelan entre los nodos de $\cos(kx)$. ¡Esta es una imagen muy diferente de lo que daría una interpretación ingenua al estilo de Bohm! No hay forma de que las partículas fluyan a través de los nodos de probabilidad cero de partículas, por lo que solo podemos decir que las partículas están oscilando de alguna manera entre los nodos de $\cos(kx)$.

De cualquier manera, puede ver que combinar el concepto de un$e^{-ikx}$El conjunto de transmisión con superposición no da nada satisfactorio. La superposición y una interpretación "beable" de la función de onda simplemente no funcionan juntas. Los "Beables" no son lineales y todas las preguntas "lineales" no proporcionarán una buena respuesta.

Tomando$\langle p|\psi \rangle$con una mentalidad similar a la de Bohm es como preguntar "¿Cuánto de un uniforme$p$-arroyo ($\sim e^{-ipx}$) está linealmente presente en este conjunto$\psi$?" y obtienes una respuesta matemática que no tiene un buen significado en el sentido de la física no lineal que crees que es verdadera. Solo obtienes una transformada de Fourier útil de esta función peculiar$\psi$de tu teoría.

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Hay una función de "cuasi probabilidad" en el espacio de fase que me parece bastante ordenada, la distribución de casi probabilidad de Wigner $P(p,x)$. Tiene todas las buenas propiedades que esperaría de una distribución de este tipo, como$\int P(p,x) dp = \rho(p), \int P(p,x) dx = \rho(x)$. Es realmente genial, pero... no es definitivamente positivo. Sin embargo, a veces se usa en el límite clásico.

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La verdad es que el estado cuántico no puede interpretarse en términos de objetos clásicos, pero debe entenderse en sus propios términos.

La verdadera contraparte clásica del estado cuántico es la posición nítida y el momento de la partícula, porque el estado cuántico es el componente básico de su teoría, lo más nítido que puede obtener, la caracterización completa del sistema y su evolución. Y la interpretación y convergencia al límite clásico debe hacerse solo verificando la correspondencia entre$x \to \langle \hat{X}\rangle, \langle (\hat{X})^2\rangle - (\langle \hat{X}\rangle)^2 \to 0$etc.

Por otro lado, la contraparte cuántica de una distribución clásica es el operador de densidad . En la mecánica clásica tienes una distribución sobre los objetos nítidos de tu teoría, la posición y los momentos. En la teoría cuántica también, la única diferencia es que tienes una distribución sobre objetos cuánticos nítidos, los estados. A medida que los estados convergen en posiciones y momentos definidos, su operador de densidad converge en una densidad de probabilidad clásica.

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¿Estoy maldito o tardo demasiado en completar una respuesta para que otra sea aceptada mientras tanto? De todos modos, disfruta de un punto de vista alternativo.

La evolución temporal se puede analizar aplicando el operador de evolución temporal, es decir

$$\hat U=e^{i\hat Ht}$$

Dado que el resultado de$\hat H\left|\psi\right>$es diferente en los dos casos que ha establecido (el hamiltoniano que describe los problemas es diferente), los estados evolucionan de manera diferente. El valor esperado para el impulso reflejará esta situación, es decir

$$\left<\hat p(t)\right>=\left<\psi(t)\right|\hat p\left|\psi(t)\right>$$

tendrá diferentes dependencias en los dos casos, por lo que la distribución de los momentos cambiará a medida que el valor esperado$\left<\hat p(t)\right>$cambios.