¿Por qué las soluciones no normalizables no pueden representar partículas?

Por definición, la probabilidad de detectar una partícula con función de onda normalizada$\psi(x)$en un intervalo$[x_1,x_2]$es

$$P(x_1,x_2) = \int_{x_1}^{x_2}\lvert\psi(x)\rvert^2\mathrm{d}x.$$ Si la función de onda no está normalizada, sino normalizable, es decir, la integral $C := \int_{-\infty}^\infty\lvert\psi(x)\rvert^2\mathrm{d}x$es finito, entonces todavía podemos definir esta probabilidad como $$P(x_1,x_2) = \frac{1}{C}\int_{x_1}^{x_2}\lvert\psi(x)\rvert^2\mathrm{d}x.$$ Este es esencialmente solo uno de los postulados básicos de la mecánica cuántica: los estados no son vectores en el espacio de Hilbert, sino rayos (o elementos del espacio proyectivo de Hilbert ), y no importa si elige un representante normalizado o no normalizado de un rayo para calcular cantidades físicas.

Sin embargo, una función de onda no normalizable no es miembro de ningún rayo; no se encuentra en el espacio de Hilbert, por lo general$L^2(\mathbb{R})$, sobre el que tiene lugar la mecánica cuántica, porque los elementos de$L^2(\mathbb{R})$por definición tienen integrales finitas, es decir, son normalizables. En particular, no hay manera de dar una receta de cómo calcular$P(x_1,x_2)$de eso. Por lo tanto, una función de onda no normalizable no es un estado en el sentido de la mecánica cuántica , no representa un estado físicamente significativo o accesible (aunque puede ser una idealización de uno, como los estados$\lvert x\rangle$).