¿Por qué |Ψ|2|Ψ|2|\Psi|^2 es la densidad de probabilidad?

Estoy comenzando con Mecánica Cuántica, aprendiendo en línea. Parece que no puedo encontrar la razón de | Ψ | 2 siendo la densidad de probabilidad de encontrar un electrón. Simplemente lo han dado por sentado en todas partes. Estoy aprendiendo todas estas matemáticas, pero no soy capaz de comprender completamente la idea intuitiva detrás de todo esto. Si alguien pudiera explicar esto con un razonamiento adecuado, estaría agradecido.

Posible duplicado: physics.stackexchange.com/q/73329/2451 y enlaces allí.
Es un tipo diferente de pregunta, pero tal vez esta respuesta mía pueda ayudar un poco.
Ver este artículo de Scott Aaronson . Considera otras formas de calcular la densidad de probabilidad y muestra que la norma 2 es la única físicamente razonable.
@JohnRennie gracias, pero ese documento parece estar más allá de mi alcance en este momento.
@Wouter- Esa fue una respuesta muy interesante, muy intuitiva. Gracias.
El documento mencionado por el comentario de @ JohnRennie contiene una discusión más profunda de mi respuesta que se proporciona a continuación (que creo/espero que sea más fácil de entender).

Respuestas (3)

Respuesta corta

La razón por la que una cantidad física como la probabilidad está dada por | Ψ | 2 en lugar de alguna otra función de Ψ es la geometría, a saber, el teorema de Pitágoras. Si tienes un vector que apunta desde el origen hasta el ( X ^ , y ^ , z ^ ) coordenadas ( X , y , z ) , entonces la longitud ℓ es dado por ℓ 2 = X 2 + y 2 + z 2 .

¿Por qué es esta la definición de longitud? Si rotas tus coordenadas o mueves el vector a otro lugar, entonces lo que llamamos la longitud no debería cambiar. Entonces ℓ se llama longitud porque la forma de ℓ (la suma de cuadrados) es la única cantidad que es constante incluso si giras o mueves el vector (o mueves o giras tus coordenadas).

Respuesta más larga

La mecánica cuántica es lineal, lo que significa que si tiene 2 (o más) estados/resultados mutuamente excluyentes que escribimos simbólicamente usando la notación de Dirac como | A ⟩ y | B ⟩ , entonces cualquier combinación lineal también es un estado válido, es decir

| ψ ⟩ = ψ a | A ⟩ + ψ b | B ⟩ ,
dónde ψ a y ψ b son numeros Pero debido a esta linealidad también podemos representar | ψ ⟩ en una base diferente en lugar de | A ⟩ y | B ⟩ , pero la "longitud" de ψ no debe cambiar La única forma funcional para la "longitud" ‖ ψ ‖ , eso no cambia si cambiamos (o "rotamos") nuestras funciones/estados básicos es la suma de cuadrados, al igual que en el caso de la longitud geométrica de un vector, es decir
‖ ψ ‖ 2 ∝ | ψ a | 2 + | ψ b | 2 + ⋯ .

Ahora, si dice que un estado debe normalizarse a 1 (es decir, ‖ ψ ‖ 2 = 1 ), ahora tiene un grupo de términos positivos que suman uno sin importar cómo describa su estado. Tenga en cuenta que ψ a 2 + ψ b 2 + ⋯ o ψ a 2 + ψ b 2 + ⋯ es invariante (igual a 1) pero ψ a 2 + ψ b 2 + ⋯ (o cualquier otra forma) no lo hace. Además términos como ψ a ≡ ⟨ A | ψ ⟩ son una medida de qué tan cerca está el estado | ψ ⟩ es al estado | A ⟩ entonces la probabilidad de que | ψ ⟩ se mide en estado | A ⟩ debe ser alguna función de ψ a . Combinar estos 2 hechos da | ψ a | 2 como la única forma posible de esta probabilidad.

+1 Aunque esta es probablemente una mejor respuesta, no la acepto porque no estoy seguro de entenderla completamente (no hay nada de malo en su explicación, acabo de comenzar QM, por lo que es difícil obtener la intuición detrás de todo esto). ¡Gracias por la ayuda!
Pero, ¿por qué las probabilidades deberían ser invariantes bajo rotaciones?
Un rayo en el espacio de Hilbert solo significa que la partícula existe. O dicho de otra manera, las probabilidades de todos los resultados posibles deberían sumar uno. Una rotación puede representar una transformación activa (el estado cuántico cambia) o una transformación pasiva (simplemente cambia la representación o la base de medición). En cualquier caso, las probabilidades aún deben sumar uno.

Consideremos el famoso experimento de doble rendija con fotones. Con la configuración habitual, denotamos el número de fotones que pasan por norte y denotaremos el número de fotones que golpean la película entre y y y + Δ y por norte ( y ) . La probabilidad de que un fotón sea detectado entre y y y + Δ y a la vez t es dado por:

PAG y ( y , t ) ≡ límite norte → ∞ ( norte ( y ) norte )
Si consideramos esto desde un punto de vista electromagnético clásico, entonces la cantidad anterior se conoce como la intensidad I de la onda electromagnética que es bien conocida por ser proporcional a:
I ( y , t ) ∝ | ψ ( y , t ) | 2 Δ y
dónde ψ denote la función de onda de la onda electromagnética. (Tenga en cuenta que esta ecuación se puede derivar de las ecuaciones de Maxwell). De las dos ecuaciones anteriores, es fácil ver que la densidad de probabilidad está dada por:
PAG ( y , t ) ∝ | ψ ( y , t ) | 2
Se puede encontrar una discusión más detallada en las páginas 18 a 24 de estas notas .

Estaba buscando una respuesta más intuitiva, pero creo que esta es la que tiene más sentido de todas. ¡Muchas gracias!
@ParthVader no hay problema. Además, tenga cuidado: la mecánica cuántica en general es conocida por ser contraria a la intuición.
¿Cómo se deriva esa expresión para la intensidad de las ecuaciones de Maxwell? Quizás este argumento funcionaría mejor si se tratara de la interferencia de electrones. Eso evitaría mezclar E&M con la mecánica cuántica y suavizaría la discusión.
@garyp No estoy seguro de lo que quieres decir. Elegí deliberadamente la interferencia de fotones para que pudiéramos mezclar E&M con QM. A partir de esto podemos postular la conocida expresión de la densidad de probabilidad, que luego se traslada a otras partículas (como los electrones) debido a la dualidad onda-partícula. Esto le da al OP la lógica detrás de la derivación de la densidad de probabilidad. Al final, por supuesto, esto es válido porque los experimentos han demostrado que esto es cierto.
@Hunter Claro, entiendo completamente tu punto de vista. Mi pequeña objeción es que tienes que tomar la ecuación de onda clásica como la función de onda mecánica cuántica para el fotón. Esto es justificable, pero creo que coloca la discusión en el ámbito de la teoría cuántica de campos, que yo diría que es más compleja de lo que se necesita aquí.
@garyp No creo que esto sea teoría cuántica de campos en absoluto. De manera similar, podemos usar la ecuación de Schrödinger no relativista para describir un electrón que interactúa con los potenciales electromagnéticos (ver esta respuesta ). Como ambos estamos de acuerdo, la fórmula para la densidad de probabilidad es un postulado que se justifica (como dices) "porque funciona". Pero estos postulados no se sacan de un sombrero mágico. De manera similar, la ecuación de Schrödinger no se puede derivar de la primera
principios, pero esto no significa que alguien lo haya escrito al azar y "funcionó". Existe un procedimiento lógico que nos permite postular estas fórmulas.
oye ahora en la primera parte no entendí con N tiende a infinito y como es que la intensidad me podrías explicar por favor
Nunca he visto la intensidad escrita de esa manera, ¿podría enviarme un enlace, por favor?

Creo que la respuesta es "porque funciona". Al principio del desarrollo de QM, se le dio esa interpretación a la función de onda y, a lo largo de las décadas, ha demostrado ser una interpretación útil. Funciona. Adicionalmente, el hecho de que sea posible definir una corriente asociada, y que exista una expresión mecánica cuántica que garantice que | Ψ | 2 se conserva cuando se tiene en cuenta esa corriente, apoya la interpretación.

¿Estás diciendo que la 'densidad de probabilidad' es solo una interpretación de | Ψ | 2 ? ¿Podría haber sido interpretado como otra cosa también?
Sí, pero las alternativas no son tan intuitivamente satisfactorias. Ciertas características de la interpretación han preocupado a muchas personas. En particular, la noción de que la función de onda "colapsa" a un valor bien definido tras la medición. como puede ser eso si | Ψ | 2 representa la densidad de probabilidad de encontrar la partícula? Los argumentos y las alternativas son difíciles de entender, en mi opinión. Ciertamente, la mayoría de la gente les presta poca atención, dejando los problemas a especialistas y filósofos. Una alternativa es dar Ψ ningún significado en absoluto, atribuyendo significado sólo a los valores esperados.
Eso es lo que debería hacer también mientras estudio QM, supongo jaja.
¿Por qué |Ψ|2|Ψ|2|\Psi|^2 es la densidad de probabilidad?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v