¿Por qué la magnitud al cuadrado de la función de onda nos da la densidad de probabilidad? [duplicar]

Question

¿Por qué la magnitud al cuadrado de la función de onda nos da la densidad de probabilidad? [duplicar]

Física
regla de nacimiento
probabilidad
función de onda
números complejos
mecánica cuántica

Lann625

Mi pregunta no va mucho más allá del título: ¿Por qué

{| ψ (X, t) |}^{2}

$\left | \psi \left ( x,t \right ) \right |^{2}$ darnos la densidad de probabilidad de que algo aparezca en un lugar determinado? Entiendo que

{| ψ (X, t) |}^{2} = ψ {(X, t)}^{*} ψ (X, t)

$\left | \psi \left ( x,t \right ) \right |^{2} = \psi \left ( x,t \right )^{*}\psi \left ( x,t \right )$ dónde

ψ {(x, t)}^{*}

$\psi \left ( x,t \right )^{*}$ es el conjugado complejo, pero todavía no entiendo cómo multiplicar estas dos variantes de la ecuación de onda nos da una probabilidad de una ubicación.

gonenc

posible duplicado de la regla de Born, ¿cuál es la razón?

una mente curiosa

posible duplicado de la regla de Born y la evolución unitaria

DanielSank

Es literalmente porque eso es lo que significa la función de onda . Pregúntese "¿por qué el campo eléctrico nos da la fuerza por unidad de carga sobre un objeto?". La respuesta es que observamos que en algunas situaciones los objetos cargados experimentan una fuerza proporcional a su carga, por lo que inventamos un "campo eléctrico" para explicarlo.

Ján Lalinský

@DanielSank, el campo eléctrico se introdujo originalmente como fuerza por unidad de carga; entonces es trivial que el producto de fuerza y carga dé fuerza. Sin embargo, la función

ψ (x)

$\psi(x)$ no tiene tal introducción. Es un concepto puramente matemático definido por la ecuación de Schroedinger y las condiciones de contorno. No hay probabilidad involucrada en su definición. La pregunta "por qué la integral de magnitud al cuadrado da probabilidad" no es trivial.

DanielSank

@JánLalinský Esto nos llevará a una discusión sobre el método científico e ideas más generales sobre lo que significa hacer ciencia. No debemos llevar a cabo esa discusión en los comentarios. Dejaré mi ventana de chat abierta hoy en caso de que quieras hablar.

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Es literalmente porque eso es lo que significa la función de onda . Pregúntese "¿por qué el campo eléctrico nos da la fuerza por unidad de carga sobre un objeto?". La respuesta es que observamos que en algunas situaciones los objetos cargados experimentan una fuerza proporcional a su carga, por lo que inventamos un "campo eléctrico" para explicarlo.
@DanielSank, el campo eléctrico se introdujo originalmente como fuerza por unidad de carga; entonces es trivial que el producto de fuerza y carga dé fuerza. Sin embargo, la función $\psi(x)$ no tiene tal introducción. Es un concepto puramente matemático definido por la ecuación de Schroedinger y las condiciones de contorno. No hay probabilidad involucrada en su definición. La pregunta "por qué la integral de magnitud al cuadrado da probabilidad" no es trivial.
@JánLalinský Esto nos llevará a una discusión sobre el método científico e ideas más generales sobre lo que significa hacer ciencia. No debemos llevar a cabo esa discusión en los comentarios. Dejaré mi ventana de chat abierta hoy en caso de que quieras hablar.

una mente curiosa · Answer 1

$\newcommand{\ket}[1]{\lvert #1 \rangle}\newcommand{\bra}[1]{\langle #1 \rvert}$ Como instancia especial de la regla de Born que establece que, dado un estado $\ket{\chi}$ , la probabilidad de encontrarlo en un estado $\ket{\psi}$ viene dado por (para estados normalizados) $\lvert \bra{\chi} \psi \rangle \rvert^2$ , es un axioma en las formulaciones estándar de la mecánica cuántica que

| ψ (X) |^{2} = | ⟨ X | ψ ⟩ |^{2}

$\lvert\psi(x)\rvert^2 = \lvert \bra{x} \psi\rangle \rvert^2$ es la probabilidad (densidad) de encontrar el objeto en

x

$x$ .

La regla que declaraste como axioma no es una instancia especial de la regla que establece dado un estado $\ket{\chi}$ , la probabilidad de encontrarlo en un estado $\ket{\psi}$ viene dado por (para estados normalizados) $\lvert \bra{\chi} \psi \rangle \rvert^2$ . Las dos son reglas separadas, porque la primera da probabilidad como integral de un cuadrado, mientras que la última da probabilidad como cuadrado de una integral. Desafortunadamente, ambos se conocen como la regla de Born.

fénix87 · Answer 2

Proviene del marco matemático de la Mecánica Cuántica. Un valor esperado general es el resultado de calcular un estado $\omega$ sobre algunos observables $A$ . Matemáticamente hablando $A$ es un operador autoadjunto del C*-álgebra $\mathfrak A$ de observables y $\omega$ es un estado terminado $\mathfrak A$ , es decir, un funcional lineal positivo normalizado en $\mathfrak A$ . Por el teorema de Riesz-Markov existe una probabilidad regular (que por el momento significa que da medida 1 en todo el espectro de $A$ ) medida $\mu_\omega$ transportado por el espectro de $A$ tal que

ω (A) = \int_{σ (A)} λ d m_{ω} (λ) .

$\omega(A) = \int_{\sigma(A)}\lambda\ \text d\mu_\omega(\lambda).$ La interpretación probabilística surge del hecho de que, para cualquier subconjunto

U \subset σ (A)

$U\subset\sigma(A)$ , el número

\int_{tu} d m_{ω} (A)

$\int_U\text d\mu_\omega(A)$ puede interpretarse como la probabilidad de encontrar el resultado de una medida de

A

$A$ sobre el estado

ω

$\omega$ dentro del rango de valores de

U

$U$ (recuerde que un operador autoadjunto tiene un espectro contenido en

R

$\mathbb R$ ).

Cuando la representación de la relación de conmutación canónica es la de Schrödinger (que es la única hasta el isomorfismo), los estados están en correspondencia uno a uno con el espacio proyectivo de Hilbert $PL^2(\mathbb R)$ (Supongo solo un grado de libertad por simplicidad). En particular, dado que se trata de una representación irreductible, todo estado puro admisible corresponde a una (clase o rayo de un) vector en $L^2(\mathbb R)$ , y por lo tanto

ω (q) = (ψ_{ω}, q ψ_{ω}) = \int X | ψ_{ω} (X) |^{2} d X .

$\omega(q) = (\psi_\omega,q\psi_\omega) = \int x|\psi_\omega(x)|^2\text dx.$ Comparando esta expresión con la anterior que proviene del teorema de Riesz-Markov, se puede interpretar

| ψ_{ω} (x) |^{2}

$|\psi_\omega(x)|^2$ como una densidad de probabilidad sobre el espectro del operador de posición

q

$q$ , es decir

R

$\mathbb R$ para sistemas invariantes de traducción.

En resumen, de la fórmula para el promedio esperado $\int \psi^*\hat{A}\psi\,dx$ y su aplicación para coordinar $x$ inferimos que la densidad de probabilidad $x$ es $|\psi(x,t)|^2$ . Sin embargo, entonces la pregunta es, ¿por qué se calcula el valor promedio esperado de la forma en que se hace?
@JánLalinský Uno siempre encontrará un último "por qué" que solo puede responderse con "porque queremos ajustar los datos provenientes de los experimentos". No es una teoría matemática, es un modelo matemático para el comportamiento de la naturaleza.
@JánLalinský, ¿qué quieres decir? ¿Está preguntando por qué el promedio se calcula como $\int\lambda\text d\mu$ o ¿por qué en la mecánica cuántica tiene esa forma? La respuesta a la primera es: por definición; la respuesta a la última es porque así se define el producto interior en un espacio de Hilbert.
@annav, la fórmula para el promedio esperado es tan misteriosa como la fórmula utilizada como regla de Born. Cierto, no a todo se le puede dar razón, pero no es evidente que la regla del Born sea una de esas cosas.
@ Phoenix87, la razón que dio, la regla para calcular los valores promedio, no es completamente satisfactoria porque, de manera similar a la regla de Born, no está claro por qué esa fórmula es mejor que otras. No tiene sentido explicar la validez de estas cosas en física diciendo que son definiciones.
@JánLalinský Por supuesto que tiene sentido. La física no es matemática. Utiliza matemáticas con postulados adicionales con la fuerza de los axiomas, que conectan/interpretan las fórmulas matemáticas con cantidades físicamente medibles. Uno de estos axiomas/postulados de la física es la interpretación de las cantidades como probabilidades para medir observables. Sin una versión de la regla de Born, la mecánica cuántica no tiene sentido, no conecta con los datos. hiperfísica.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/qm.html
@JánLalinský El único axioma que asumí al derivar la primera ecuación es: cada sistema mecánico cuántico está asociado a un álgebra C * cuya parte autoadjunta es el conjunto de todos los observables y su espacio de estado (o posiblemente solo un subconjunto de it) es el conjunto de todos los estados físicos. Entonces, todo lo demás se sigue de la teoría estándar de C*-álgebras (en particular, su teoría de la representación). Para la última ecuación, solo es necesario agregar las relaciones de conmutación canónicas, que son solo una forma de explicar el principio de Heisenberg. No se requieren más suposiciones.
@annav, te estás perdiendo el punto. Cuando la pregunta es "¿por qué creemos que el promedio esperado está dado por X?", la respuesta "porque es una definición del promedio esperado" no tiene sentido, porque el promedio esperado ya tiene una definición en la teoría de la probabilidad.

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¿Por qué la densidad de probabilidad en particular se define como |Ψ|2=ΨΨ∗|Ψ|2=ΨΨ∗|\Psi|^2=\Psi \Psi^{*}?

Amplitud de amplitud de probabilidad. ¿Cuál es?

¿Hay algún operador detrás de la probabilidad, en mecánica cuántica?

¿Normalización del significado de la función de onda...?

¿Por qué |Ψ|2|Ψ|2|\Psi|^2 es la densidad de probabilidad?

¿Tiene |⟨p|ψ⟩|2|⟨p|ψ⟩|2\lvert\langle p\lvert\psi\rangle\rvert^2 algún significado?

¿Por qué usamos ψψ\psi en lugar de una probabilidad directa?

¿Qué sucede en un paso de potencial infinitamente largo cuando E

¿Por qué las soluciones no normalizables no pueden representar partículas?

Cómo entender la función de onda en la mecánica cuántica en matemáticas