Cómo entender la función de onda en la mecánica cuántica en matemáticas

Estoy leyendo una introducción a la mecánica cuántica. No entiendo todo, pero entiendo que la función de onda cuenta algunos aspectos de probabilidad. En un libro, muestran un ejemplo de la función de onda. F ( X ) en el espacio de posición como una función compleja, por lo que dijeron que la probabilidad de encontrar la partícula es F ∗ ( X ) F ( X ) = | F ( X ) | 2 . En otro libro, se muestra el mismo ejemplo pero en la llamada forma de vector de sostén y ket, sé que si calculo el cuadrado absoluto, debería obtener la misma respuesta. Pero todavía estoy aprendiendo la notación bra, ket, así que me pregunto si ⟨ F ( X ) | F ( X ) ⟩ o | ⟨ F ( X ) | F ( X ) ⟩ | 2 da la probabilidad? Si el último da la probabilidad, ¿cuál es ⟨ F ( X ) | F ( X ) ⟩ ? Es ⟨ F ( X ) | F ( X ) ⟩ = F ∗ ( X ) ⋅ F ( X ) ?

Respuestas (2)

" | F ( X ) ⟩ " no significa nada y no es una notación de bra-ket adecuada. Para traducir de un lado a otro entre la función de onda y la notación de bra-ket, aquí está lo #1 a tener en cuenta:

F ( X ) = ⟨ X ∣ F ⟩

Entonces, la densidad de probabilidad para encontrar la partícula en X es

| F ( X ) | 2 = | ⟨ X ∣ F ⟩ | 2

Desde ⟨ a ∣ b ⟩ = ⟨ b ∣ a ⟩ ∗ , esto también se puede escribir

| F ( X ) | 2 = ⟨ F ∣ X ⟩ ⟨ X ∣ F ⟩

Recuerde, esto representa una densidad de probabilidad en X . Lo que esto significa es que

∫ d X A ( X ) | F ( X ) | 2 = ⟨ F | { ∫ d X A ( X ) | X ⟩ ⟨ X | } | F ⟩

debe ser el valor esperado de la función A(x). La cantidad entre paréntesis es un operador:

A ^ = ∫ d X A ( X ) | X ⟩ ⟨ X |

(Editar: como lo señaló Trimok, lo anterior no es cierto para la mayoría de los operadores. Solo es cierto para cualquier operador que sea diagonal en la base x, o de manera equivalente que pueda escribirse como una función del operador X ^ . Estos son el único tipo de operador para el cual el valor esperado y los momentos más altos se pueden calcular usando | F ( X ) | 2 como una función de densidad de probabilidad.)

El valor esperado de este operador es

⟨ A ⟩ = ⟨ F | A ^ | F ⟩

Ten cuidado. Para un operador A ^ , la notación A ( X ) , como función, no tiene sentido, excepto si | X ⟩ es un vector propio de A ^ : A ^ | X ⟩ = A ( X ) | X ⟩ . En este caso particular, A ( X ) es el valor propio del operador A ^ correspondiente al vector propio | X ⟩ . Pero en general, esto no tiene sentido. Por ejemplo, con el operador de cantidad de movimiento PAG ^ , una notación " PAG ( X ) "sería una tontería, porque | X ⟩ no es un eingenvector para PAG ^ .
Quería generalizar a partir del caso específico de pensar en | F ( X ) | 2 como una densidad de probabilidad, en la que sólo los operadores diagonales en X sentido, al caso general de encontrar el valor esperado de cualquier operador. No quise dar a entender que cualquier operador se puede diagonalizar en la base x. Aunque es un poco engañoso.

En lenguaje Bra-Ket: la función de onda se define como el coeficiente de expansión del estado arbitrario en el espacio base ket. | α ⟩ = ∫ d X | X ⟩ ⟨ X | α ⟩ = ∫ d X | X ⟩ F α ( X ) . Para un estado general | α ⟩ , F α es la función de onda. la probabilidad es F ∗ F = | ⟨ X | α ⟩ | 2 .

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