¿Hay algún operador detrás de la probabilidad, en mecánica cuántica?

La teoría de la mecánica cuántica se ha desarrollado para explicar las observaciones, es decir, las mediciones. Sin observaciones es una construcción matemática flotante.

Uno de los postulados para conectar las matemáticas con la realidad es:

A todo observable le corresponde un operador que operando sobre la función de estado dará un valor propio. Entonces la pregunta es: ¿es la probabilidad un observable? y luego se convierte en: lo que es un observable.

Un observable en el marco de la mecánica cuántica es una variable del sistema bajo consideración que una medida puede evaluar. La energía de un solo fotón. El impulso de un protón. El espín de un electrón. Siempre podemos medir estas variables en partículas individuales con una observación, medición. Esto no es posible con probabilidad. Es un valor emergente de un gran número de medidas con las mismas condiciones de contorno: es una distribución normalizada, que varía de 0 a 1, de la dispersión de los valores encontrados en las medidas.

Entonces no, no existe un operador mecánico cuántico para la probabilidad, ya que no es un observable de una variable que ingresa al problema mecánico cuántico sino una cantidad emergente de muchas mediciones.

La respuesta es negativa por dos razones distintas.

(1) En QM operador significa operador lineal y el mapa$\psi \mapsto |\psi(x)|^2$no es lineal, evidentemente.

(2) Las funciones de onda son elementos de$L^2(\mathbb R)$y estos elementos se definen hasta conjuntos de medida cero. Quiero decir que, si$\psi(x) \neq \psi'(x)$para$x\in E$dónde$E$tiene medida cero, entonces$\psi=\psi'$como elementos de$L^2(\mathbb R)$, es decir (si$\int |\psi(x)|^2 dx =1$) estados cuánticos puros . En particular cada conjunto de la forma$\{x_0\}$siempre tiene medida cero. Por lo tanto, para cualquier fijo$x_0$, el mapa

$$L^2(\mathbb R) \ni \psi \mapsto |\psi(x_0)|^2$$ no tiene sentido No está definido en absoluto, como un mapa que asocia estados (si $\int |\psi(x)|^2 dx =1$) con números.

Si uno cambia al formalismo del operador de densidad, la situación cambia. Operadores de densidad$\rho$son operadores de clase de seguimiento positivos con norma de seguimiento$\mathrm{tr}\rho =1$. No solo describen estados puros sino también mixtos y satisfacen la ecuación de Liouville-von Neumann

$$\begin{equation*} \partial _{t}\rho (t)=-i[H,\rho (t)]:=-iL\rho (t), \end{equation*}$$ dónde $H$es el hamiltoniano del sistema y $[.,.]$el conmutador El lado derecho define el operador de Liouville $L$actuando sobre elementos de la clase traza. Si, en su caso, $\psi (x)\in \mathcal{H}$es integrable al cuadrado con la norma unitaria, entonces $$\begin{equation*} \rho =|\psi ><\psi |, \end{equation*}$$ y la probabilidad de encontrar la partícula con coordenada en $\mathcal{% M\subset H}$es $$\begin{equation*} E_{\mathcal{M}}=\mathrm{tr}P_{\mathcal{M}}\rho =\mathrm{tr}P_{\mathcal{M}% }|\psi ><\psi |=\int_{\mathcal{M}}dx|\psi (x)|^{2} \end{equation*}$$ Aquí $P_{\mathcal{M}}$es el proyector definido por la función característica $\chi _{\mathcal{M}}(x)$, $\chi _{\mathcal{M}}(x)=1$para $x\in \mathcal{M}$y 0 en caso contrario. De este modo $P_{\mathcal{M}}$es el operador asociado a la probabilidad en el espacio de coordenadas. Del mismo modo, deja $\mathcal{N}$Sea un conjunto en el espacio de cantidad de movimiento y $Q_{\mathcal{N}}$ser proyector definido por $\chi _{\mathcal{N}}(p)$. Entonces $$\begin{equation*} F_{\mathcal{N}}=\mathrm{tr}Q_{\mathcal{N}}\rho =\int_{\mathcal{N}}dp|\tilde{% \psi}(p)|^{2}, \end{equation*}$$ dónde $\tilde{\psi}(p)$es la transformada de Fourier de $\psi (x)$, es la probabilidad de encontrar la partícula con cantidad de movimiento en $\mathcal{N}$.

En enfoques más abstractos, como el C$^{\ast }$-formalismo algebraico, los estados se definen como funcionales lineales positivos sobre el conjunto de observables. Los operadores de densidad pertenecen a esta clase pero hay otros más generales.

"Probabilidad", en sí mismo, es un concepto muy blando y realmente no tiene mucho sentido por sí solo. Sin embargo, si adjunta una declaración, como en "probabilidad de que suceda X", entonces puede asignarle un operador.

Permítanme comenzar con un ejemplo simple, una sola partícula en una dimensión, donde desea la probabilidad de su coordenada$x$estar entre$a$y$b$. Como saben, esto se puede escribir como

$$P(x\in[a,b])=\int_a^b|\psi(x)|^2\text dx.$$ Para llevar esto a un formalismo de operador, expresa la función de onda como un paréntesis entre el estado $|\psi⟩$y un estado propio de posición $|x⟩$, Llegar $$P(x\in[a,b])=\int_a^b⟨\psi|x⟩⟨x|\psi⟩\text dx.$$ Finalmente, puede 'factorizar' el $\psi$'s para obtener el elemento de matriz de un operador: $$P(x\in[a,b])=⟨\psi|\left(\int_a^b|x⟩⟨x|\text dx\right)|\psi⟩=⟨\psi|\hat\Pi_{[a,b]}|\psi⟩.$$

El operador$\hat\Pi_{[a,b]}$se llama el proyector espectral del operador de posición$\hat x$para el conjunto$[a,b]\in \mathbb R$. Tiene la propiedad de que su valor esperado en un estado$|\psi⟩$es la probabilidad de$x$estar en$[a,b]$en ese estado.

Esto se extiende a cualquier observable de buen comportamiento$\hat Q$y cualquier conjunto medible de números reales$A$. De hecho, la 'diagonalizabilidad' de los operadores autoadjuntos (¡incluyendo la posición y el momento!) se expresa, cuando se deriva rigurosamente en términos de un teorema espectral, exactamente en esos términos. Si$\hat Q$es autoadjunto (lo que incluye la hermiticidad tal como la conocemos, pero también algunas restricciones adicionales en los dominios de los operadores), no tiene garantizados los estados propios, sino una medida espectral . Esta es una función$\Pi$que toma conjuntos de números reales$A$y devuelve los correspondientes proyectores espectrales$\Pi(A)$, que tienen la propiedad de que sus valores esperados son la probabilidad de que$q$es en$A$:

$$P(q\in A)=⟨\psi|\hat\Pi(A)|\psi⟩.$$

Si$\hat Q$tiene estados propios, entonces los proyectores espectrales son la suma, o integral, de los proyectores de estados propios individuales$|q⟩⟨q|$sobre el$q$'pecado$A$. Si$Q$tiene un espectro continuo, de hecho, los proyectores individuales$|q⟩⟨q|$no tienen mucho sentido por sí mismos y deben integrarse para dar predicciones físicas.

Esto coincide con algo que ya mencionó V. Moretti. La densidad de probabilidad ,

$$|\psi(x)|^2=⟨\psi|\left(|x⟩⟨x|\right)|\psi⟩,$$ no está particularmente bien definido porque $\psi$puede cambiar su valor en puntos individuales sin afectar el estado. Esto está bien, porque las densidades de probabilidad se integran para dar resultados físicos, y estos cambios puntuales no afectan la integral total.

Sin embargo, como se desprende de su forma, la densidad de probabilidad es también, al menos formalmente, el valor esperado de un operador, que en este caso es

$$|x⟩⟨x|.$$ Debido a los problemas mencionados anteriormente, este operador en realidad no está tan bien definido, y debe tener mucho cuidado con sus estados (y, en particular, restringirse a ciertas partes de un formalismo espacial de Hilbert amañado) para que esto haga sentido. Puede obtener una definición un poco más robusta como $$|x⟩⟨x|=\frac{d}{dx}\hat \Pi_{(-\infty,x]},$$ excepto que ahora debe preocuparse por lo que significa diferenciar en el espacio del operador. El mensaje para llevar sobre esto es que las manipulaciones formales, si se hacen correctamente, funcionan, pero si quieres que sean rigurosas, se vuelve muy desordenado muy rápido. Entonces: usa tu intuición física para saber qué cantidades tienen sentido y cuáles no, sigue las reglas de manipulación y estarás a salvo.

No. Estas probabilidades cancerosas surgen debido a la interpretación probabilística, que también trae todo tipo de paradojas famosas que infectan a QM. Por sí mismo, el formalismo de la teoría requiere solo la solución de una ecuación diferencial de segundo orden para calcular$\psi(x,t)$- un proceso que es completamente determinista, como resolver algo que sale de la segunda ley de Newton. (Estoy hablando de la solución de la ecuación de Schr\"odinger aquí, la mecánica matricial de Heisenberg da respuestas idénticas).

El formalismo de la teoría y esta interpretación son cuestiones absolutamente independientes. Se puede tener otra interpretación (p. ej., Many-Worlds , además de otras que puede encontrar mencionadas en el enlace) agregada al mismo formalismo, lo que nos daría una forma diferente de dar sentido a estas respuestas. Pero por sí mismo, no hay nada en el formalismo de QM que requiera o necesite probabilidades.

Entonces, tu respuesta es - no. La probabilidad no es el resultado de que ningún operador actúe sobre$\psi$.