Normalización de estados cuánticos: ¿por qué?

No hay ninguna razón particular para normalizar un estado cuántico si solo define, digamos, un valor esperado de algún observable$A$, como

$$\langle A \rangle := \frac{\left\langle \psi | A \psi \right\rangle}{\left\langle \psi | \psi \right\rangle}.$$

En realidad, esto se hace a menudo. Es solo una simplificación y, por lo tanto, una convención sensata establecer$\langle \psi | \psi \rangle = 1$.

Además, la ecuación de Schrödinger es lineal en la variable$\psi$, por lo que si tomamos como valor inicial$c \times \psi$, con$c \in \mathbb{C}$, la solución también se multiplicará por$c$y nada físico cambia.

Para decir algo sobre ecuaciones no lineales como la ecuación de Gross-Pitaevskii, es correcto que tendrías que corregir el término de interacción en esta ecuación por un factor de$1/c$para cuidar la normalización diferente.

¿Tiene ejemplos en los que los estados no normalizados den lugar a situaciones paradójicas, excepto para probabilidades mayores que uno?

Yo no, pero tal vez lo siguiente ayude.

Si$\psi$no está normalizado pero es normalizable, en realidad no hay problema: todas las funciones de$\psi$se puede modificar para tener en cuenta la falta de normalización: simplemente normalice en la fórmula funcional.

Sin embargo, si$\psi$no es normalizable para alguna región$\Omega$, significa que uno no puede usar la regla Born

$$\frac{\int_{x\in \omega} |\psi(x) |^2 dx}{\int_{x\in\Omega} |\psi(x)|^2dx} = \text{probability particle is in }\omega,$$ porque la integral del denominador no existe o es infinita, entonces uno tiene que adoptar algún significado diferente para$\psi$, o uno decide tal$\psi$no es admisible en la medida en que se utiliza el significado Born. Por ejemplo, si$\Omega$es todo el espacio infinito,

$$\psi(x) = e^{ipx/\hbar}$$ no es normalizable, por lo que no es aplicable como una descripción de Bornian del sistema en ese espacio. Sin embargo, si elegimos$\Omega$al ser un volumen finito, digamos una caja, la función psi anterior se vuelve normalizable y es admisible. Entonces, la normalizabilidad depende tanto de la región del espacio de configuración como de la función misma.

Por otro lado, si tenemos algo como la distribución delta de Dirac

$$\psi(x) = \delta(x-x_0)$$ esto no es normalizable en el sentido de la regla de Born en absoluto. Se puede utilizar como condición inicial para el Schr. ecuación, pero la solución resultante$G(x,t)$no es una función psi realista para todo el espacio infinito. Tiene otros usos: es la función Green del Schr. ecuación para todo el espacio infinito.

Considere un problema de dispersión clásico: usted proyecta, digamos, N partículas por segundo en un objetivo y cuenta el número de partículas dispersas en un ángulo sólido$d\Omega$:$dN\propto N$entonces la proporción$dN/N$es siempre más pequeño que 1. Reportado a una partícula, es su probabilidad de ser dispersada en$d\Omega$.

Ahora bien, en QM se observan superposiciones de estados de partículas dispersas. Implica la linealidad de su ecuación, una especie de ecuación de onda. La solución de la ecuación de onda debe normalizarse para obtener el valor de calculado$dN$sin ambigüedad. El resto es similar al caso clásico: para una partícula tienes la probabilidad correspondiente, pero la ecuación de movimiento debe admitir superposición de amplitudes (soluciones).

Lo tercero es que siempre necesitamos muchas partículas para tener estadísticas confiables y ciertos juicios, por lo que en realidad contamos el número de partículas (por segundo o el número total, lo que sea). Por lo tanto, la probabilidad es solo una parte de la imagen completa, lo que implica muchas, muchas partículas involucradas para cubrir todos los rincones de la imagen ondulada. Ni en la física clásica ni en la cuántica el "experimento" de una partícula es suficiente.