Sobre la regla de Born

$P_i = \mid\psi_i\rangle\langle\psi_i\mid$es el operador de "proyección" unidimensional. Por "unidimensional" significa que este operador de proyección proyecta$\psi$en una sola dimensión en el espacio de Hilbert.

En primer lugar, cualquier función de onda$\psi$se puede escribir como una combinación lineal de componentes ortogonales. Eso es,$\psi = \sum a_i\mid\psi_i\rangle$dónde$a_i$es algún coeficiente. Si hay$n$tales coeficientes distintos de cero,$\psi$se puede considerar como un vector en$n$dimensiones, que tienen componentes en cada dirección de la longitud$a_i$en esto$n-dimensional$Espacio de Hilbert.$a_i$es también la amplitud que el resultado$\psi_i$se obtendrá si la función de onda se mide en esta base. La probabilidad es amplitud^2.

La medida de proyección esencialmente "proyecta" el estado$\psi$en uno de estos componentes.

Es más fácil demostrar por qué$P_i = \mid\psi_i\rangle\langle\psi_i\mid$aplicándolo al estado$\psi$.

$P_i\psi = P_i\sum a_k\mid\psi_k\rangle = \mid\psi_i\rangle\langle\psi_i\mid\sum a_k\mid\psi_k\rangle = \mid\psi_i\rangle\sum a_k\langle\psi_i\mid\psi_k\rangle = a_i\mid\psi_i\rangle$

Por lo tanto, el operador$P_i$actuando en algún estado arbitrario$\psi$, proyectos$\psi$sobre su i-ésimo vector componente. (Esto es análogo a proyectar un vector 2D sobre, digamos, su componente x en la geometría euclidiana. Por ejemplo, si un vector$V = ax + by$, entonces la proyección sobre el eje x produciría$V_x = ax$)

Así que desde,$P_i\mid\psi\rangle=a_i\mid\psi_i\rangle$podemos demostrar fácilmente que$\langle\psi\mid P_i\mid\psi\rangle=\sum \langle\psi_k\mid a_k^*a_i\mid\psi_i\rangle = \sum a_k^*a_i\langle\psi_k\mid\psi_i\rangle = a_ia_i^* = \mid a_i\mid^2$

Por lo tanto hemos demostrado que$\langle\psi\mid P_i\mid\psi\rangle$da la probabilidad de que la función de onda esté en el estado propio$\psi_i$.

El siguiente paso es mostrar cómo el de tu libro también es la probabilidad. Tenga en cuenta el uso de su libro de$P_x$es representar probabilidad y no es el operador de proyección. Primero considera el denominador$\langle\psi\mid\psi\rangle = \sum^j\sum^k\langle\psi_j\mid a_j^* a_k\mid\psi_k\rangle$. Los únicos términos que sobreviven son cuando i=j. Por lo tanto llegamos a:

$\langle\psi\mid\psi\rangle = \sum^j\langle\psi_j\mid a_j^* a_j\mid\psi_j\rangle = \sum^j a_j^*a_j = \sum^j \mid a_j\mid ^2$Esta es la probabilidad total de cualquier estado que, si se normaliza, debería ser 1. Por lo tanto$\langle\psi\mid\psi\rangle = 1$para estados normalizados, de lo contrario es la suma de todas las amplitudes posibles^2.

A continuación consideramos el numerador. Este es el producto escalar de las componentes x del estado, que producirá$a_x^* a_x = \mid a_x \mid ^2$Por lo tanto, numerador sobre denominador da$\frac{\mid a_x \mid ^2}{\sum^j \mid a_j\mid ^2}$. Esta es la probabilidad de que ocurra un estado particular x dividida por la probabilidad de que ocurra cualquiera de los estados posibles (que debería ser 1 para estados normalizados).