"θθ\theta-ϕϕ\phi dualidad" y TTT-dualidad

Si observa este documento, figura 1: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0550321388902490 , puede ver claramente que el punto autodual de la rama del bosón compacto del$c=1$espacio de módulos (que es$SU(2)_1$) en$R = 1/\sqrt{2}$no es el fermión libre CFT.

El CFT de fermiones libres en realidad no tiene la$\phi, \theta$simetría de intercambio porque si se tratan adecuadamente (y usando su normalización) estos campos deben tener una periodicidad diferente. De hecho, uno de ellos tendrá periodicidad$4\pi$, decir$\theta$, de modo que el operador fermion$e^{i \theta/2 + i \phi}$es local La dualidad intercambia qué campo da origen al fermión.

También le recomiendo que lea las conferencias de I. Affleck de la escuela Les Houches de 1988 sobre campos, cuerdas y fenómenos críticos (y todas las conferencias contenidas en el interior). Son mucho más cuidadosos que las referencias modernas.

Inspirado por la respuesta de Ryan, pude resolver los detalles que identifican el$\theta$-$\phi$dualidad como la$T$-dualidad.

Comencemos con

$$\begin{align} S=\frac{1}{2\pi}\int dx d\tau\ (\partial_\mu \phi)^2, \end{align}$$ donde el radio de compactación $$\begin{align}R_{\phi}=\sqrt{K}\end{align}$$ y ponerlo en un cilindro con circunferencia$L=1$.

Sabemos que el espectro de tal bosón compactado lo aportan los movimientos colectivos de la cuerda y un sector de oscilaciones armónicas de la cuerda. La ecuación de movimiento tiene (ver Big Yellow Book) la siguiente solución$\phi = \phi_0 + vt + 2\pi \sqrt{K}mx + \mathrm{oscillations}$, dónde$m\in\mathbb{Z}$es un número de bobinado alrededor del cilindro. La velocidad$v$está relacionado con el momento canónico$\Pi_{\phi}$, que se cuantifica como$\Pi_{\phi}=n/\sqrt{K},~n\in \mathbb{Z}$. Así, tal estado se caracteriza por$(n,m)$, a saber

$$\begin{align} \phi = \phi_0 + \frac{n\pi t}{\sqrt{K}} + 2\pi \sqrt{K}mx + \mathrm{oscillations}. \end{align}$$

Podemos preguntar qué campos primarios crean este estado. sabemos que el$(n,0)$estados, que son estados propios de$\Pi_{\phi}$, es creado por el operador de vértice

$$\begin{align} \mathcal{V}_{n}=e^{i{n}\phi/{\sqrt{K}}}, \end{align}$$ pero es menos obvio encontrar un campo que crea un número sinuoso$m$en$\phi$. Resulta que se trata del campo dual.$\theta$introducido en la bosonización, con$S=\frac{1}{2\pi}\int dx d\tau \ (\partial_\mu\theta)^2$. Sabemos por la bosonización que$\theta$y$\phi$satisfacer $$\begin{align} \partial_{t}\theta= -\partial_{x}\phi(=-2\pi \sqrt{K}m), \end{align}$$ entonces$m$es en realidad el número cuántico del momento canónico$\Pi_{\theta}= -2\sqrt{K} m$. El operador correspondiente a$(n,m)$el estado es así $$\begin{align} \mathcal{V}_{(n,m)}=e^{i{n}\phi/{\sqrt{K}}+i2\sqrt{K}m\theta}. \end{align}$$ Vemos que el radio de compactación para el$\theta$el campo es $$\begin{align} R_{\theta} = \frac{1}{2\sqrt{K}}. \end{align}$$ El$n\to m$,$\theta\to\phi$,$K\to 1/(4K)$simetría de$\mathcal{V}_{(n,m)}$es bien conocido como el$T$-dualidad de la teoria. El punto autodual está en$K=1/2$. En este punto$R_{\phi}=R_{\theta}=1/\sqrt{2}$.

De esto queda claro que el caso de fermiones de Dirac libre con$K=1$no tiene el$\theta$-$\phi$simetría ya que sus radios son diferentes.