Operador de vértice Tachyon (libro de Polchinski)

En primer lugar, me gustaría averiguar esto:

$$\left[\hat{p}^{\mu},\exp(ikx)\right]=\left[\hat{p}^{\mu},\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}(ik\hat{x})^{n}\right]=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\left[\hat{p}^{\mu},(ik\hat{x})^{n}\right]$$ Como podemos ver, por $n=0$, $\left[\hat{p}^{\mu},(ik\hat{x})^{n}\right]$da cero. Entonces, en los siguientes casos, resolveré el problema para el caso en que n no sea cero. $$\left[\hat{p}^{\mu},(ik\hat{x})\right]=ik_{\nu}\left[\hat{p}^{\mu},\hat{x}^{\nu}\right]=k^{\mu}$$ $$\left[\hat{p}^{\mu},(ik\hat{x})^{n}\right]=nk^{\mu}(ik\hat{x})^{n-1}$$ Ahora, reemplazando estos resultados en la primera ecuación: $$\left[\hat{p}^{\mu},\exp(ikx)\right]=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n-1)!}k^{\mu}(ik\hat{x})^{n-1}=k^{\mu}\exp(ik\hat{x})$$ Un segundo punto es el siguiente: $$\hat{p}^{\mu}\exp(ik\hat{x})|0,0>=\exp({ik\hat{x}})\hat{p}^{\mu}|0,0>+k^{\mu}\exp({ik\hat{x}})|0,0>$$ $$\hat{p}^{\mu}\exp(ik\hat{x})|0,0>=k^{\mu}\exp({ik\hat{x}})|0,0>$$ Ahora, me gustaría identificar el estado $\exp(ik\hat{x})|0,0>$como $|0,k>$, por razones obvias.

Para finalizar, Polchinski escribió en su libro lo siguiente:

Cualquier estado se puede obtener de$|0,0>$actuando con los operadores$\alpha^{\mu}_{-m},\tilde{\alpha}^{\mu}_{-m},x^{\mu}_{0}$. El operador correspondiente a este estado viene dado por : : producto normal ordenado de los operadores locales correspondientes.
Los operadores correspondientes están en el libro, lo único que necesitas saber para resolver este problema es el operador correspondiente para$x^{\mu}_{0}$es$X^{\mu}(0,0)$.

Por lo tanto, el operador correspondiente al estado$|0,k>$es$:e^{ikX(0,0)}:$

Polchinski explica la correspondencia estado-operador en la sección 2.8, en particular las ecuaciones 2.8.3, 2.8.4 y 2.8.9.

Lo que usted llama "operadores de vértices superiores" crea múltiples partículas (si hay múltiples operadores de vértices exponenciales) con un giro más alto (si hay derivados adicionales que multiplican los exponenciales).