¿Es la invariancia de Weyl absolutamente necesaria para las hojas de mundo de cadenas?

Estimado Jenkins, las teorías que desea construir son "teorías de cuerdas no críticas" y son menos interesantes y menos consistentes que las "teorías de cuerdas críticas".

Primero, la acción Nambu-Goto, el área adecuada de la hoja del mundo, no es lineal. Incluye raíces cuadradas, etc. Es mucho mejor introducir un tensor métrico auxiliar en la hoja del mundo y la acción para las coordenadas.$X$se vuelve agradable y bilineal - una teoría libre.

Sin embargo, no queremos que se agreguen nuevos grados de libertad. El tensor métrico 2D tiene tres componentes independientes. Dos de ellos pueden establecerse en una forma estándar por los 2 grados de libertad en la simetría de reparametrización de coordenadas 2D; y el tercero por la simetría de Weyl si existe.

Si no existe, es una lástima. La hoja métrica del mundo auxiliar sólo puede llevarse a la forma de$e^\phi \eta_{ab}$. Eso significa que$\phi$, que determina la escala general, se convierte en otra función de las coordenadas de la hoja mundial$(\sigma,\tau)$, de manera muy análoga a las coordenadas del espacio-tiempo$X(\sigma,\tau)$. De hecho, es realmente válido decir que el parámetro que determina la escala general de la métrica es otra coordenada del espacio-tiempo.

Si esta coordenada fuera totalmente idéntica a las otras coordenadas, entonces también habría una simetría de traslación en el$\phi$dirección - pero eso es equivalente a la simetría de Weyl (escala multiplicativa de$e^\phi$es lo mismo que cambios aditivos a$\phi$). Debido a que, por suposición, la simetría de Weyl no se cumple en su teoría, la nueva coordenada del espacio-tiempo$\phi$no puede tener las mismas propiedades que las otras coordenadas del espacio-tiempo.

Sin embargo, en circunstancias normales, las violaciones de la invariancia de Weyl se obtienen como una enfermedad. En particular, si intenta estudiar la teoría de cuerdas en una dimensión no crítica, es decir,$D\neq 26$o$D\neq 10$, encontrará que el campo$\phi$no se desacopla y la integral de trayectoria, cuando se calcula incluyendo la precisión de un lazo, todavía depende de$\phi$. Entonces la simetría de Weyl, equivalente a un desplazamiento aditivo de$\phi$por una función de la hoja del mundo, no es una simetría.

Como dije, esto puede interpretarse como$\phi$se está convirtiendo en una nueva coordenada del espacio-tiempo. Pero si tratas de calcular la acción efectiva en el nuevo espacio-tiempo que tiene una dimensión adicional$\phi$, descubrirá que las leyes de la física no son invariantes bajo traslaciones en$\phi$- eso no es más que el fracaso de la teoría para ser invariante de Weyl.

En particular, descubrirá que el dilatón depende linealmente de$\phi$: busque artículos sobre "dilatón lineal". El gradiente al cuadrado del dilatón está relacionado con el excedente o exceso (si es temporal o espacial) de las coordenadas del espacio-tiempo, en relación con la dimensión crítica.

Si el espacio-tiempo tiene dos dimensiones, se puede elegir que el dilatón dependa de la (única) coordenada espacial$\phi=X^1$de tal manera que la teoría incluyendo$\phi$es Weyl-invariante de nuevo. En este caso, es útil considerar no solo el dilatón lineal correcto, resolviendo las ecuaciones de movimiento, sino también un trasfondo no trivial para el taquión. Uno termina con la llamada "teoría de Liouville" - una teoría del "dilatón lineal" con algún perfil taquiónico adicional en una estructura fibrosa no crítica$D=2$espacio-tiempo, que es un poco más consistente que otras teorías de cuerdas no críticas. La teoría de Liouville también puede describirse mediante un modelo mecánico cuántico con una matriz grande: la antigua teoría matricial.