Identificar los coeficientes de Expansión del Producto del Operador (OPE)

Se deriva de la ecuación (2.3.11) que es

$$\text{Res}_{z \to z_0} j(z) {\cal A}(z_0,{\bar z}_0) + \overline{\text{Res}}_{{\bar z} \to {\bar z}_0} {\tilde j}({\bar z}) {\cal A}(z_0, {\bar z}_0) = \frac{1}{i \epsilon} \delta {\cal A}(z_0, {\bar z}_0)$$ Esta es la identidad de Ward. Cuando $j(z) = i v(z) T(z)$encontramos (centrándonos sólo en la parte holomorfa) $$\text{Res}_{z \to z_0} i v(z) T(z) {\cal A}(0,0) = \frac{1}{i \epsilon} \delta {\cal A}(z_0, {\bar z}_0) = i v(z) \partial {\cal A}(0,0)$$ Centrémonos ahora en las traducciones primero. Aquí $v(z) = v$(constante). Bajo traducciones $\delta {\cal A}(0,0) = - \epsilon v \partial {\cal A}(0,0)$. La ecuación anterior entonces dice $$i v\partial {\cal A}(0,0) = i v \text{Res}_{z \to 0} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{ {\cal A}^{(n)}(0,0)}{z^{n+1}} = i v {\cal A}^{(0)}(0,0)$$ De este modo $${\cal A}^{(0)}(0,0) = \partial {\cal A}(0,0)$$ Ahora, considere la transformación bajo escala $v(z) = z$. En este caso $${\cal A}'(z', {\bar z}) = (1 + \epsilon )^{-h} {\cal A}(z,{\bar z}) \implies \delta {\cal A}(z , {\bar z}) = \epsilon \left[ - h {\cal A}(z,{\bar z})- z \partial{\cal A}(z, {\bar z}) \right]$$ Reemplazando en la ecuación anterior, encontramos $$h {\cal A}(0,0) = \text{Res}_{z \to z_0} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{ {\cal A}^{(n)}(0,0)}{z^{n}} = {\cal A}^{(1)}(0,0)$$ Reemplazando esto en la ecuación, encontramos $$T(z) {\cal A}(0,0) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{ {\cal A}^{(n)}(0,0)}{z^{n}} = \cdots + \frac{h {\cal A}(0,0)}{z^2} + \frac{\partial {\cal A}(0,0) }{z} + \cdots$$

Tienes 2 tipos de transformación para ayudarte a encontrar el OPE$(2.4.14)$, dilataciones$(2.4.13)$y traducciones.

Para cada una de estas transformaciones, tenemos que identificar cantidades de transformaciones infinitesimales$v(z)$definido por:$z' = z+\epsilon v(z)$y la modificación infinitesimal de los campos$\delta A(z,\bar z)$. La corriente está dada por$j(z) = i v(z)T(z)$ $(2.4.5)$, vamos a usar identidades de Ward$(2.3.11)$:

$$Res_{z \rightarrow z_0} (j(z)A(z_0, \bar z_0)) + \bar Res_{\bar z \rightarrow \bar z_0}(\bar j(z)A(z_0, \bar z_0)) = \frac{1}{i \epsilon} \delta A(z_0, \bar z_0)$$

Supongamos un OPE de la forma:

$T(z) A(0,0) \sim \cdots + \frac{a}{z^2}A(0,0) + \frac{b}{z} \partial A(0,0)+\cdots$, dónde$a$y$b$están por determinar.

dilataciones

La transformación infinitesimal correspondiente a$z'= \zeta z$, esta usando$\zeta = 1 + \epsilon$,$z' = z +\epsilon z$, así que aquí$v(z) = z$; y$\bar v(z) = \bar z$

La transformación de campos es$A(z',\bar z') = \zeta^{-h}\bar \zeta^{- \tilde h} A(z,\bar z)$, esto corresponde a una transformación infinitesimal$\delta A(z, \bar z) = - \epsilon h~ A(z,\bar z) - \bar \epsilon \tilde h~ A(z,\bar z)$

Entonces, aplicando la identidad de Ward, y manteniendo solo la parte holomorfa, vemos que:

$$Res_{z \rightarrow 0}(i ~z ~T(z)~A(0,0)) = \frac{1}{i ~\epsilon}(- \epsilon h A(0,0))$$

Esto significa que$T(z)~A(0,0)$tiene un componente$\frac {h}{z^2}A(0,0)$, para tener un poste con el residuo correcto.

Traducciones

Aquí$v(z) = v$= constante; y$\delta A = - \epsilon (v\partial A + \bar v \bar \partial A)$. Entonces, aplicando la identidad de Ward, manteniendo la parte holomorfa, obtenemos:

$$Res_{z \rightarrow 0}(i ~v ~T(z)~A(0,0)) = \frac{1}{i ~\epsilon}(- \epsilon v \partial A(0,0))$$

Esto significa que$T(z)~A(0,0)$tiene un componente$\frac {1}{z}A(0,0)$, para tener un poste con el residuo correcto.

Así que finalmente :

$$T(z) A(0,0) \sim \cdots + \frac{h}{z^2}A(0,0) + \frac{1}{z} \partial A(0,0)+\cdots$$

Por supuesto, una demostración equivalente es válida para la parte antihomórfica.

Trabajemos en el marco del espacio de Hilbert en el que todos los objetos involucrados son operadores que actúan sobre algún espacio de estado.

Un CFT involucra los siguientes objetos (aquí consideramos solo campos holomorfos):

un campo$T(z)$llamado (componente holomorfo de) tensor de momento de energía. Su desarrollo de modo se escribe como

$T(z)=\displaystyle\sum _{i}L_nz^{-n-2}$

Dónde$L_n$satisfacer el llamado álgebra de Virasoro.

Además$T(z)$puede haber otras corrientes conservadas también, pero$T(z)$está necesariamente allí en cualquier CFT.

Otros objetos básicos son los llamados campos primarios de Virasoro. un campo$\phi(z)$se llama Virasoro primaria de peso$h$si bajo un cambio holomorfo de coordenadas

$\omega =f(z)$

tenemos

$\phi_{new}(\omega)=(\partial_z f(z))^{-h}\phi(z)$

Infinitesimalmente esto significa que si cambiamos nuestras coordenadas como$z\rightarrow z+\epsilon(z)$entonces

$\phi_{new}(z+\epsilon(z))=(1+\partial_z\epsilon(z))^{-h}\phi(z)$

~$\phi(z)-h(\partial_z\epsilon(z))\phi(z)$

O en otras palabras

$\delta\phi(z)=\phi_{new}(z)-\phi(z)=-\epsilon(z)\partial_z\phi(z)-h(\partial_z\epsilon(z))\phi(z)\tag 1$

En términos de campos de operadores, el cambio infinitesimal en un campo$\phi(z)$(ya sea primario o no) bajo un cambio infinitesimal de coordenadas$z\rightarrow z+\epsilon(z)$es dado por

$\delta\phi(z)=-\frac{1}{2\pi i}\oint_{C_z} dw\epsilon(w)\mathfrak R(T(w)\phi(z))\tag 2$

Dónde$\mathfrak R(T(w)\phi(z))$es el producto ordenado radialmente o el llamado producto del operador; y$C_z$es un contorno sobre$z$.$^{(*)}$

Ahora, para responder a su pregunta, todo lo que tiene que hacer es verificar que la OPE

$\mathfrak R(T(w)\phi(z))=\displaystyle \frac{h}{(w-z)^2}\phi(z)+\frac{1}{(w-z)}\partial_z\phi(z)\tag 3$

cuando se usa en (2) da (1).

Resumen: Un campo primario por definición satisface (1). La ecuación (2) se cumple para todos los campos primarios o no. Entonces requiriendo ese campo$\phi(z)$es primaria su OPE con$T$debe necesariamente de la forma (3) de modo que (2) da (1).

Agregado más tarde : para una ecuación de campo casi primaria (1) solo se cumple para la traducción, la transformación de escala y la transformación conforme especial de coordenadas (que son generadas respectivamente por$L_{-1},L_0,L_1$) y por lo tanto solo dos términos de parte singular de su OPE con$T(z)$puede ser determinado.

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*) En QFT habitual tenemos que definir operadores cuánticos correspondientes a generadores de transformaciones del grupo de Lorentz del espacio de Minkowski. Allí, el cambio en un campo bajo un cambio de coordenadas infintesimal está dado por el conmutador de los operadores correspondientes con el campo dado. El grupo conforme es de dimensión infinita, por lo que su representación en el espacio de estados viene dada por el campo$T(z)$en lugar de por un conjunto finito de operadores. La integral en (2) no es más que el conmutador

$Q_{\epsilon}^{+}\phi(z)-\phi(z)Q_{\epsilon}^{-}$

dónde

$Q_{\epsilon}^{\pm}=-\frac{1}{2\pi i}\oint_{C^{\pm}} dw\epsilon(w)T(w)$

dónde$C^{+}$es una circunferencia de centro 0 y radio$>|z|$y$C^{-}$es una circunferencia de centro 0 y radio$<|z|$.