¿Bosón compacto o no compacto de bosonización?

En algunas discusiones sobre bosonización, se enfatiza que la dualidad entre bosones libres y fermiones libres requiere el uso de un bosón compacto . Por ejemplo, en un artículo de revisión de Senechal , se hace la siguiente declaración:

Para que la bosonización se defina rigurosamente, el campo ϕ debe tener un carácter angular. En otras palabras, el espacio objetivo del campo debe ser un círculo de radio R (para mantenerse general por el momento), de modo que ϕ y ϕ + 2 π R son identificados. Decimos que el bosón se compacta sobre un círculo.

En otras fuentes, sin embargo, no se menciona la compacidad de ϕ está hecho. Por ejemplo, en el artículo de revisión de von-Delft y Schoeller , no se menciona la palabra "compacto". Además, libros como los respectivos libros de teoría de campos de materia condensada de Fradkin y Shankar parecen no mencionar este tema, según mi leal saber y entender.

Por lo que yo entiendo, las teorías de los bosones compactos y no compactos son bastante diferentes. A primera vista, ambas teorías parecen tener la misma acción:

S [ ϕ ] = k 2 ∫ d 2 X ( ∂ m ϕ ) 2 .
Sin embargo, un bosón no compacto sin masa es una teoría libre trivial, y el coeficiente k siempre se puede volver a escalar cambiando nuestra normalización de ϕ . Por otro lado, cambiar la escala de un bosón compacto cambia la teoría de manera no trivial, y la teoría puede sufrir la famosa transición KT en un valor crítico de k .

Otra evidencia puramente circunstancial de que el bosón obtenido al bosonizar fermiones es compacto incluye:

  • En la fórmula de bosonización central, ψ ∼ mi − i ϕ , ϕ aparece dentro de una exponencial. Como resultado, todos los observables que uno considera en el lado bosonizado de la teoría parecen respetar la periodicidad de ϕ . Esto también es transparente a partir de la forma de la acción bosonizada: es fácil encontrar términos en la teoría fermiónica que se traducen en objetos como porque ⁡ ϕ en la acción de la teoría bosonizada, pero uno nunca puede generar un término de masa como metro ϕ 2 que yo sepa.

  • En libros sobre el líquido de Luttinger, el parámetro k arriba se dice que está relacionado con el radio de compactación del bosón. En el libro de Fradkin, por ejemplo, k se conoce como el radio de compactación, pero entonces la compacidad de ϕ nunca se utiliza a partir de entonces.

  • Hay una auto-dualidad que comercia ϕ por su doble campo θ , y correspondientemente k a 1 / k . Hasta donde yo sé, esto está nuevamente relacionado con el hecho de que ϕ es compacto; si ϕ no eran compactos, podíamos reescalar k a lo que queramos sin cambiar la física. es solo cuando ϕ Es compacto que esta dualidad se vuelve no trivial.

Sin embargo, lo anterior es solo evidencia circunstancial y no explica por qué es necesario un bosón compactado. Además, libros como el de Fradkin y artículos de revisión como el de von-Delft, que dedicaron bastante trabajo a probar las fórmulas de bosonización, nunca parecen tener problemas al no usar un bosón compacto.

Entonces, para resumir, aquí está la pregunta: en la bosonización abeliana, donde un fermión de Dirac es equivalente a un bosón sin masa, ¿el bosón es compacto o no compacto? ¿Hay alguna vez libertad para usar uno u otro, o debe ser compacto (o no compacto)? Y lo más importante, ¿cómo puedo ver por qué el bosón es compacto o no?

No tengo a mano Shankar o Fradkin, pero von-Delft y Shoeller discuten la importancia de que el sistema tenga una longitud finita. L al configurar la bosonización, lo que equivale a decir que el sistema es compacto incluso si no usan esa palabra. Luego pasan a considerar el límite que L → ∞ , pero tienen claro que en principio L siempre debe ser finito incluso si se vuelve grande. Me sorprendería si las otras fuentes no hacen algo similar.
@BySymmetry La pregunta es sobre la compacidad del espacio de valores de ϕ ( X ) , no sobre la compacidad del espacio de valores de X .

Respuestas (2)

es compacto

El enfoque más simple es observar las simetrías. La simetría más obvia tiene álgebra. tu 1 , dada por el cambio de fase del fermión o el desplazamiento del bosón. ¿Cuál es la forma global de esta simetría? (es decir, ¿cuál es el grupo para este álgebra?)

Es claro que el fermión tiene grupo tu ( 1 ) , ya que el elemento del grupo es una fase.

Para el bosón, el grupo es R para la caja no compacta y tu ( 1 ) para la caja compacta. La razón es obvia: el conjunto de transformaciones ϕ ↦ ϕ + α tiene la estructura de R si α es arbitrario, pero colapsa a tu ( 1 ) si α ≅ α + 2 π .

Por tanto, si estas simetrías han de ser idénticas (que es una condición necesaria para la dualidad), el bosón debe ser compacto.

(También puede convencerse de que estas teorías son CFT y su álgebra quiral es precisamente la extensión afín de tu 1 ; ambos son racionales con respecto a este álgebra y de hecho holomorfos. Para los fermiones esto es obvio, pero para los bosones esto solo es cierto en R = 1 (en cierta normalización).)

Esto es convincente, pero plantea más preguntas. Primero, los fermiones de Dirac tienen un tu ( 1 ) simetría quiral, que no parece estar presente en el lado del bosón. ¿Es esto porque la anomalía quiral rompe la simetría en la teoría de Dirac de todos modos? En segundo lugar, cuando las personas tratan de dar evidencia de la dualidad, generalmente calculan funciones de correlación en los lados de Bose y Fermi y muestran que son iguales. ¿Por qué es suficiente calcular funciones de correlación de bosones no compactos? De hecho, no me queda claro que uno pueda simplemente calcular las funciones de correlación del bosón compacto de todos modos.
@Zack No hay anomalía quiral, el fermión está libre. El bosón tiene dos tu 1 es demasiado En la literatura antigua de la Teoría de Cuerdas, estos se conocen como simetrías de impulso y devanado, y de hecho (en un marco de dualidad T dado) solo uno de ellos es obvio. De todos modos, al verificar la dualidad, necesita calcular los correladores del bosón compacto, no los del no compacto. Su mejor opción es consultar los libros ST, los correladores de bosones compactos son lo que ellos llaman "operadores de vértice", esencialmente mi i ϕ (que manifiestamente respeta la 2 π identificación).
Gracias, una pregunta más: en la literatura de materia condensada con la que estoy familiarizado, parece extremadamente común tratar ϕ como si fuera un campo ordinario no compacto con acción gaussiana. Por ejemplo, comúnmente se dice que el líquido de Luttinger sin dispersión Umklapp se asigna a una teoría de bosón libre. Con Umklapp, uno obtiene una teoría Sine-Gordon en su lugar, y luego realiza el tratamiento RG ϕ como gaussiana para obtener el diagrama de fase. Entonces, ¿cómo debo entender cuándo está bien y cuándo es peligroso descuidar la compacidad de ϕ ?
@Zack No estoy tan familiarizado con la literatura de cond-mat, por lo que realmente no puedo juzgar si solo están siendo descuidados o no. Pero como regla general, diría: nunca debe descuidar la compacidad, a menos que tal vez solo esté haciendo algo simple como mirar un observable local en la teoría de la perturbación. (Tales observables son insensibles a los problemas globales de todos modos).
Tal vez pueda hacer una pregunta específica, en lugar de aludir vagamente a la literatura de cond-mat: si uso la bosonización para mapear el modelo de Thirring masivo al modelo de Sine-Gordon, estaría tentado a concluir que el modelo MT experimenta una transición KT en ciertos parámetros. Pero, según tengo entendido, el análisis RG habitual del modelo SG que conduce a la transición KT supone que ϕ es no compacto. ¿Me equivoco al concluir que el modelo MT tiene una transición KT?

En caso de duda, puede volver a la función de partición toroide. Para el fermión libre de Dirac, es

Z = 1 2 ( | ϑ 2 ( τ ) η ( τ ) | 2 + | ϑ 3 ( τ ) η ( τ ) | 2 + | ϑ 4 ( τ ) η ( τ ) | 2 ) .
Esto concuerda con la función de partición del bosón libre en 2 veces el propio radio dual . Algunas técnicas para evaluar funciones de partición relacionadas (junto con este ejemplo específico) se dan en el Capítulo 8 de Ginsparg .

Esto se puede utilizar como punto de partida para encontrar la descripción fermiónica de bosones libres compactos en otros radios. El punto es que el radio se puede ajustar agregando la deformación actual-actual ∂ ϕ ∂ ¯ ϕ . Después de aplicar la dualidad, esta se convierte en una interacción de cuatro fermi que define el modelo de Thirring sin masa. Luego puede encontrar otro par de teorías relacionadas por bosonización abeliana si agrega una masa de fermión. Dado que esto rompe la simetría conforme, conduce a una matriz S no trivial. Esta matriz S masiva del modelo de Thirring es la misma que la del modelo sine-Gordon, como lo muestra Coleman .

Gracias por sus comentarios. Todavía estoy aprendiendo CFT, por lo que aún no entiendo el significado de la función de partición que escribió. Pero su último punto plantea otra confusión mía: aunque la acción de Sine-Gordon parece respetar la periodicidad de ϕ , entendí que la teoría SG era una teoría de un bosón no compacto; vea, por ejemplo, la expansión del modo en la ecuación de Coleman. 2.1. Esto también es importante en la discusión tradicional de la transición KT en la teoría SG, donde la dimensión de escala de porque ⁡ ϕ se evalúa utilizando la acción gaussiana.
Entonces, ¿debería considerar SG como una teoría de un bosón compacto o no compacto, y el análisis RG cambia entre los dos casos?
Hace tiempo que no leo los pasos de Coleman, pero pensé que SG describía un bosón compacto. En porque ⁡ ( β ϕ ) , puedes cambiar ϕ por 2 π β lo que significa que el radio debe ser 1 β . Si esto es cierto, (1.9) concuerda con lo que se supone que debe hacer el término corriente-corriente. Obtienes un radio infinito en gramo = ∞ pero un radio finito en gramo = 0 .
Además, los bosones libres compactos y no compactos son gaussianos si solo miras la acción. El radio es importante para determinar qué operadores locales son admisibles en la teoría. Pero si alguien le entrega un operador creado a partir de ϕ , puede leer su dimensión de escala sin conocer el radio.
Tal vez sea solo terminológico, pero por "gaussiana" me refiero a que la integral de trayectoria y las funciones de correlación pueden evaluarse mediante una integral gaussiana simple. Este no es el caso del bosón compacto, donde una integral gaussiana equivale a despreciar la compacidad de ϕ y "pierde" vórtices. Quizás la confusión se deba a que el artículo de Coleman solo trata el sector de carga cero del modelo de Thirring, lo que significa que no hay bobinado del bosón. Pero no estoy totalmente seguro, creo que incluso sin bobinado podría haber vórtices siempre que la carga total sea cero.
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