Operador de vértice: mapeo de estado en el libro de Polchinski

El punto principal es que la correspondencia operador - estado mapea todos los operadores de aniquilación a cero, de modo que una serie de Laurent valorada por operadores en$z$y$\bar{z}$se asigna a una serie de potencias con valor de estado ket en$z$y$\bar{z}$.

Comience con la acción (2.1.1), donde los campos$\partial X^{\mu}$se definen en una hoja de mundo dada. Entonces la ec. (2.1.12) te dice que$\partial X^{\mu}$es holomorfa en esta superficie.

La forma en que podemos desarrollar una función holomorfa depende de la topología de la superficie en la que se define. Si es el plano complejo (el caso habitual), entonces tienes una expansión$\sum\limits_{m \geq 0} a_m z^m$. Si estás en la esfera de Riemann, agregas una condición en el infinito, y las únicas funciones holomorfas (valoradas en el plano complejo) son las constantes. Ahora, si vas en un cilindro, como es el caso de la propagación de una cuerda libre, entonces relajas una condición en el origen y la expansión es$\sum\limits_{m \in \mathbb{Z}} a_m z^m$. Incluso si esto tiene "polos", de hecho es una función holomorfa en el cilindro, o el plano sin el origen.

Ahora en la correspondencia estado-operador, si insertas el operador identidad en el origen, se reduce a pasar del cilindro al plano. Ya no hay hueco en el origen, ya que ahora en la figura 2.6.b el contorno puede cruzar el$\mathcal{A}$inserción. Entonces los coeficientes con negativo$m$en$\sum\limits_{m \in \mathbb{Z}} a_m z^m$debe aniquilar el estado correspondiente. Esto identifica este estado con el estado fundamental.

Antes de poner un operador local en el origen de la$z$plano, el origen es en realidad una singularidad del mapa exponencial que envía el cilindro al plano complejo. Así, los operadores locales son singulares en el origen antes de la correspondencia estatal-operador.

La correspondencia estado-operador es la observación de que si sustituimos la singularidad en el origen con un operador local allí, entonces podemos mapear estados en$t=\pm\infty$sobre el cilindro a los operadores locales en el origen del avión.

El comportamiento singular en el origen está determinado por el operador local que pones en el origen. El$1$El operador local se caracteriza por no tener singularidad alguna. Otros estados/operadores como$:\partial X^{\mu}\bar{\partial}X^{\nu}e^{ikX}:$reproducir una singularidad en el origen.

Daré una respuesta diferente, más simple. Todas estas discusiones son ecuaciones de operadores. Ahora como una ecuación de operador$\bar{\partial}\partial X^\mu = \text{contact terms}$, vea la discusión en la página 35. Pero los términos de contacto surgirían de cualquier operador dentro del contorno. El único operador de este tipo es el operador de la unidad, por lo que no existen términos de contacto y$\bar{\partial}\partial X^\mu =0$y entonces$\partial X^\mu$es holomorfo.