¿Por qué la invariancia de Weyl es importante para la teoría de cuerdas consistente?

En la respuesta a continuación, solo intentaré motivar por qué la invariancia de Weyl + diff es (se cree) necesaria en la teoría de cuerdas (bosónica).

Considere una cadena (clásica) en un espacio-tiempo con coordenadas$X^\mu$y métrico$G_{\mu\nu}$. A medida que la cuerda se mueve, define una superficie bidimensional.$S$. Dejar$g$denote la métrica inducida en la superficie a partir de la métrica del espacio-tiempo$G$. Área de la superficie medida con la métrica$g$sirve como la acción (Nambu Goto) de la cuerda clásica. Parametrización de la superficie con unas coordenadas$\sigma_1,\sigma_2$podemos escribir$g$como

$g_{\alpha\beta}=\partial_{\alpha}X^\mu \partial_{\beta}X^{\nu}G_{\mu\nu}$

y la acción se puede escribir como

$S_{NG}=-T\int d\sigma_1 d\sigma_2 \sqrt {-det(g)}$

Para definir esta acción, necesitábamos elegir coordenadas (más precisamente, gráficos de coordenadas locales) en la superficie$S$. Está claro que la acción (~ área de la superficie) es independiente de la elección de las coordenadas$\sigma_1,\sigma_2$en$S$. Elección de coordenadas en$S$solo sirve como una herramienta auxiliar para describir la acción convenientemente en lugar de ser una propiedad física de la superficie. Entonces, si cuantificamos nuestra cuerda, no querríamos que ningún observable físico en nuestra teoría cuántica dependiera de la elección de las coordenadas.

Podemos cuantificar la acción anterior, pero por conveniencia introducimos una versión diferente de la acción. Esto se hace introduciendo en$S$una métrica$h$. Podemos elegir cualquier métrica que queramos excepto que sea de firma (-1,1) {donde asumimos que la métrica del espacio-tiempo tiene firma (-1,1,...,1)}. Se sabe que la acción

$S_P=-\frac{T}{2}\int d\sigma_1d\sigma_2\sqrt{-det(h)} h^{\alpha\beta}\partial_{\alpha}X^\mu \partial_{\beta}X^{\nu}G_{\mu\nu}$

define la misma teoría clásica como$S_{NG}$excepto por una diferencia principal. Teoría clásica definida por$S_{P}$tiene variables adicionales correspondientes a los tres componentes independientes de la métrica (simétrica)$h$. Sin embargo, sabemos que la cuerda física en sí misma no tiene tales grados de libertad porque podemos describir su movimiento clásico usando la acción$S_{NG}$que depende solo de$X^\mu$, y$G_{\mu\nu}$. Por lo tanto, si queremos obtener una teoría cuántica de cuerdas cuantificando la acción$S_P$entonces, además de exigir que los observables físicos en nuestra teoría cuántica no dependan de la elección de las coordenadas, también debemos exigir que no dependan de la elección de la métrica$h$. En particular, no debe haber observables físicos correspondientes a los grados de libertad métricos$h_{11},h_{12}=h_{21},h_{22}$y entonces deberíamos ser capaces de deshacernos de ellos de alguna manera.

Para deshacernos de los tres grados de libertad continuos necesitamos tres simetrías continuas de la acción. La invariancia del difemorfismo nos permite cambiar las dos coordenadas de la hoja mundial arbitrariamente y, por lo tanto, nos da dos simetrías continuas. Necesitamos una simetría continua más de acción que viene dada por la invariancia de Weyl. En dos dimensiones se sabe que usando difeomorfismo y transformaciones de Weyl cualquier métrica puede convertirse (localmente) en una métrica plana (esto se deriva del hecho de que uno siempre puede encontrar coordenadas isotérmicas locales en superficies bidimensionales). Entonces, en la teoría clásica definida por la acción$S_P$podemos calibrar la métrica$h$utilizando las simetrías continuas del difeomorfismo y la invariancia de Weyl. Si nos aseguramos de que el proceso de cuantización conserve estas simetrías de calibre, entonces también en la teoría cuántica se pueden usar para medir los grados de libertad métricos. Además, dado que la acción no tiene ninguna otra simetría continua que pueda ayudarnos a deshacernos de$h$por lo que es necesario preservar la invariancia de Weyl+diff.