Teoría M compactada en S4S4S^4

Esto se responde en el apartado 8.3 de:

Paul de Medeiros, José Figueroa-O'Farrill, "Half-BPS M2-brane orbifolds", Adv. teor. Matemáticas. física Volumen 16, Número 5 (2012), 1349-1408 ( arXiv:1007.4761 )

En este caso, nos interesan los fondos supersimétricos.$\mathrm{AdS}_7 \times X^4$, con$X$posiblemente un orbifold. La construcción de Bär, junto con la inexistencia de representaciones holonómicas pentadimensionales irreductibles, implica que la única variedad tetradimensional (completa) que admite espinores Killing reales es la esfera redonda.$S^4$, por lo tanto, cualquier otro fondo supersimétrico debe ser un orbifold de$S^4$por un subgrupo finito de$\mathrm{SO}(5)$, elevando isométricamente a un subgrupo$\Gamma < \mathrm{Sp}(2)$. El espacio de Killing spinors vuelve a identificarse con el$\Gamma$-espinores paralelos invariantes en$\mathrm{R}^5$que es la representación del espinor irreducible$\Delta$de$\mathrm{Sp}(2)$. Esta representación es cuaterniónica, de donde el espacio de$\Gamma$-los espinores invariantes son un subespacio cuaterniónico: si un espinor es invariante, también lo es su línea de cuaterniones, por la linealidad de cuaterniones de la acción de$\mathrm{Sp}(2)$. Desde$\dim_\mathbb{H}\Delta =2$, necesariamente$0\leq \dim_\mathbb{H}\Delta^\Gamma \leq 2$. Por lo tanto, si exigimos algo de supersimetría, ya sea$\Gamma = \{1\}$y tenemos$X = S^4$, o bien el orbifold es medio BPS. En este caso$\Gamma$está contenido en un$\mathrm{Sp}(1)$subgrupo de$\mathrm{Sp}(2)$, dejando un vector distinto de cero invariante en la representación fundamental de$\mathrm{Sp}(2)$. Salvo automorfismos, vemos que$\Gamma$es uno de los subgrupos ADE en la Tabla 1, pero esta vez incrustado en$\mathrm{Sp}(2)$de tal manera que si$u \in \Gamma < \mathrm{Sp}(1)$y$(x,y)\in\mathbb{H}^2$, entonces$u \cdot (x,y) = (ux,y)$.

La acción de ese$\mathrm{Sp}(1)$subgrupo de$\mathrm{SO}(5)$en$S^4$se da restringiendo la acción sobre$\mathrm{RR}^5$. Esto se da de la siguiente manera. En primer lugar, hay un vector que es fijo, llámalo$\nu$. Si identificamos el subespacio tetradimensional perpendicular a$\nu$con$\mathbb{H}$, entonces la acción de$\mathrm{Sp}(1)$es por multiplicación de cuaterniones por la izquierda. Finalmente, usando los argumentos descritos en la Sección 7.1 y en particular en la Tabla 11, es un ejercicio simple descomponer tales orbipliegues$S^4/\Gamma$, excepto por$\Gamma = \mathbb{E}_8$, en una secuencia de cocientes cíclicos. Esto debería ser útil siempre y cuando entendamos la teoría del campo superconformal de seis dimensiones dual a$\mathrm{AdS}_7 \times S^4$.