¿Por qué es importante el toro para la compactación en la teoría de cuerdas? (también conocido como mucho ruido y pocas nueces sobre el toro)

El toro es especial porque es muy simple y porque proporciona el ejemplo más manejable de Mirror Symmetry https://en.wikipedia.org/wiki/Mirror_symmetry_(string_theory) , una generalización de T-dualidad (que relaciona el Tipo IIB con el Tipo IIA entre sí).

Las compactaciones tóricas son bastante especiales, son un caso especial de una cantidad increíblemente grande de compactaciones posibles. La condición para la preservación de SUSY en la teoría compactada se elaboró ​​en http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0550321385906029 , y se encontró que el espacio compactado de 6 dimensiones es un llamado Calabi -Yau múltiple. Por supuesto, son posibles otras compactaciones, pero no conservan SUSY.

Tanto el toro como el de Calabi-Yau son planos de Ricci, es decir$R_{ab} = 0$. El$S^5$tiene curvatura positiva, y cuando la variedad compactada tiene curvatura, esta curvatura genera los otros campos y hace que sea difícil encontrar una solución simple. Ejemplos simples de compactaciones en espacios curvados positivamente incluyen el famoso$AdS_5 \times S^5$compactación de la teoría de cuerdas Tipo IIB. Aquí, la curvatura positiva de la esfera se equilibra con la curvatura negativa del espacio AdS y, además, las longitudes de curvatura de los dos son iguales, por lo que la esfera no es "pequeña" en ningún sentido y, por lo tanto, no es una compactación adecuada. en el sentido habitual.

No es cierto que dos variedades que están topológicamente relacionadas conservarán las mismas simetrías, y también tenga en cuenta que$S^5$no es topológico para$T^5$como usted dice. Esto se puede ver comparando los números de Betti, por ejemplo.