Campos de módulos CY

Para describir la física del espacio-tiempo de 4 dimensiones a partir del espacio de 10 dimensiones, consideramos que el espacio extra de 6 dimensiones tiene un tamaño muy pequeño (aproximadamente la longitud de Planck). Esto se llama la comopactificación en la teoría de cuerdas. Entonces la simetría de la teoría requiere que este espacio interno sea Ricci plano:

$$\begin{equation} R_{IJ}=0 \end{equation}$$ dónde $I$y $J$correr de 0 a 6.

Dado que las variedades CY tienen la estructura de las variedades complejas, es apropiado usar los índices de las variedades complejas, es decir$i,j=1,2,3$. La métrica en las variedades CY es del tipo (1,1)$G_{i,\bar j}$y obtenemos la forma cerrada (1,1) de la métrica

$$\begin{equation} \omega =\sqrt{-1}G_{i\bar j} dz^i\wedge d\bar z^{\bar j} . \end{equation}$$ Y no existe ninguna forma holomorfa de 3 formas que desaparezca $\Omega_{klm}$ya que el tensor de Ricci se anula.

A continuación, consideramos los módulos de las variedades CY. Si el objeto geométrico se puede deformar continuamente conservando sus propiedades geométricas, llamamos al parámetro de esta deformación módulos. Supongamos que la métrica$G_{IJ}(y)$se da en una variedad CY$M$dónde$y$es la coordenada local de$M$. Y supongamos que el cambio de métrica$G_{IJ}+g_{IJ}$y esta nueva métrica también le da a RIcci plano. Entonces tomando el primer orden de la deformación de la métrica, tenemos

$$\begin{equation} \Delta_6 g_{IJ}(y)=0 \end{equation}$$ dónde $\Delta_6$es un laplaciano de 6 dimensiones. Así, la deformación de la métrica que conserva la definición de las variedades CY viene dada por la función propia del laplaciano con su valor propio cero. En general, los valores propios de $-\Delta_6$tomar cero y valores positivos: $$\begin{equation} -\Delta_6 f_{IJ}^\alpha(y)=m_\alpha^2 f_{IJ}^\alpha(y), \,\,\,\alpha=1,2,\cdots. \end{equation}$$ Consideremos el caso de que la deformación de la métrica $g_{IJ}$es de tipo (1,1), $\delta g_{i\bar j}$, y de tipo (2,0) , $\delta g_{i j}$, respectivamente. Generalmente, la métrica en una variedad de K\"ahler es del tipo (1,1) y $g_{i\bar j}$da la deformación conservando este tipo. Esto se denomina deformación de la estructura de K\"ahler. La deformación de la estructura de K\"ahler se describe mediante una solución de la ecuación $$\begin{equation} \Delta_6 \omega_{i j}(y)=0, \end{equation}$$ es decir, está dada por una forma armónica (1,1). El número de una forma armónica (1,1) lo proporciona el número de Hodge $h_{1,1}$del múltiple $M$. Por otro lado, la deformación de tipo (2,0) de la métrica implica la deformación de una estructura compleja en una variedad compleja. Usando el conjugado complejo $\bar \Omega$de $\Omega$, obtenemos $$\begin{equation} \chi_{i\bar j \bar k} \equiv \delta g_{ij} G^{j\bar k} \bar \Omega_{\bar k\bar l\bar m}. \end{equation}$$ Por lo tanto, la deformación de la estructura compleja se describe mediante la forma armónica (1,2) y el grado de libertad de la deformación se convierte en el número de Hodge. $h_{1,2}=h_{2,1}$. Como vemos, las variedades CY tienen dos tipos de parámetros de deformación, los parámetros de K\"ahler y los parámetros de estructura compleja, que se denominan módulos, y los parámetros de K\"ahler corresponden al grado de cambio del tamaño y los parámetros de estructura compleja corresponden a los de la deformación de la forma. La métrica del espacio de módulos de estructura compleja es $$\begin{equation} G_{\alpha\bar\beta}^{\rm mod}=-\frac{i\int\chi_\alpha\wedge\bar\chi_{\bar \beta}}{i\int\Omega\wedge\bar\Omega} \end{equation}$$ Recordando que la métrica $G^{\rm mod}_{\alpha\bar\beta}$del espacio de módulos de estructura compleja se puede obtener a partir del potencial de K\"ahler $\cal K$ $$\begin{equation} G_{\alpha\bar\beta}^{\rm mod}=\partial_{\alpha}\partial_{\bar\beta}{\cal K} \ , \end{equation}$$ uno encuentra que el potencial de K\"ahler se puede escribir como $$\begin{equation} {\cal K}=-\log\int\left(i\int \Omega\wedge\bar\Omega \right) \ . \end{equation}$$

Elijamos la base$C_a$ $(a=1,\cdots, h_{1,1})$del ciclo 4 como los duales de la forma armónica (1,1)$\omega^a\equiv\omega^a_{i\bar j}d\!z^i\wedge d\! z^{\bar j}$ $(a=1,\cdots, h_{1,1})$. Entonces podemos expandir

$$\begin{equation} \ast C+\sqrt{-1}\omega=\sum t_a \omega^a \end{equation}$$ dónde $\omega$es la forma K\"ahler y $C$es el 4-ésimo campo tensorial antisimétrico que es el compañero del campo gravitacional. Entonces los coeficientes de expansión están dados por $$\begin{equation} t_a =\int _{C_a} (C+\sqrt{-1}\ast\omega). \end{equation}$$ Estos son los parámetros de los módulos de K\"ahler complejizados.

Del mismo modo, elijamos la base$A_a$y$B_a$ $(a=0,1,\cdots, h_{1,2})$de 3 ciclos para que los números de intersección satisfagan$A_a\cap B_b=\delta_{ab}, A_a\cap A_b=B_a\cap B_b=0$. En este caso, se sabe que los parámetros se toman como módulos de deformación de estructura compleja.

$$\begin{equation} z_a=\int_{A_a} \Omega, \,\,\, a=a,\cdots, h_{1,2}. \end{equation}$$ Y también se sabe que la integral de $\Omega$durante el ciclo $B_a$puede ser escrito $$\begin{equation} \frac{\partial F}{\partial z_a}=\int _{B_a} \Omega,\,\,\, a=a,\cdots, h_{1,2} \end{equation}$$ dónde $F$es una función holomorfa de $z_a$y se llama prepotencial.

Bajo la compactación de un CY, los campos múltiples de la teoría de 10 dimensiones se pueden expandir mediante las funciones propias del Laplaciano de 6 dimensiones

$$\begin{equation} f_{IJ}(x,y)=\sum_\alpha \phi^\alpha(x)f_{IJ}^\alpha(y). \end{equation}$$ Luego, la función de onda de la teoría de 10 dimensiones se reduce a la ecuación de campo de 4 dimensiones: $$\begin{eqnarray} &&\Delta_{10}f_{IJ}(x,y)=(\Delta_{4}+\Delta_{6})\sum_\alpha\phi^\alpha(x)f_{IJ}^\alpha(y)=0 \ && \rightarrow (\Delta_{4}-m_\alpha^2) \phi^\alpha(x)=0. \end{eqnarray}$$ Por lo tanto, el campo escalar $\phi_\alpha$con masa $m_\alpha$aparece en un espacio de 4 dimensiones correspondiente al valor propio $m_\alpha^2$del laplaciano de seis dimensiones. Especialmente, la masa del campo escalar correspondiente a los módulos de la variedad se vuelve cero y la partícula escalar sin masa, la partícula de módulos, aparece en la teoría efectiva de cuatro dimensiones. Entonces el valor esperado del vacío correspondiente al parámetro $\{t_a, z_a\}$. Dado que el valor propio distinto de cero $m_\alpha$del laplaciano es inversamente proporcional al cuadrado del tamaño del espacio $M$y adquieren una masa muy pesada, podemos despreciarlos.

${\rm \bf Note\ Added}$: Una vez que la teoría de cuerdas Tipo II se compacta en una variedad de Calabi-Yau$M$, la teoría efectiva de baja energía 4d se describe mediante${\cal N}=2$supergravedad El contenido del campo de${\cal N}=2$la supergravedad consiste en el multiplete Weyl (gravedad), los multipletes vectoriales y los hipermultipletes. Las acciones efectivas para multipletes e hipermultipletes vectoriales se describen mediante el modelo sigma no lineal con espacios de destino, el espacio de módulos de multipletes vectoriales y el espacio de módulos de hipermultipletes, respectivamente. En particular, los términos cinéticos de los escalares$\phi^i$en los multipletes vectoriales y los hipermultipletes se pueden escribir como

$$\begin{equation} \int_{M_4}d^4x\sqrt{g}G_{ij}\partial_\mu \phi^i \partial^\mu \phi^j +\cdots \end{equation}$$ dónde $G_{ij}$es la métrica del espacio de módulos. En las compactaciones de tipo IIA, el espacio de módulos de multiplete vectorial coincide con los módulos de K\"ahler complejos y el espacio de módulos de hipermultiplete es el espacio de módulos de estructura compleja. En las compactaciones de tipo IIB, viceversa. En las compactaciones de tipo IIB, la acción efectiva de baja energía de los multipletes vectoriales están dictados por el prepotencial $F$debido a la supersimetría. Debido a la simetría especular, podemos restringir nuestra atención a una de las dos teorías de tipo II.