¿Por qué las 16 dimensiones que no coinciden tienen que compactarse en una red uniforme?

(Fuente: Polchinski)

Considere una compactación toroidal para una cuerda bosónica cerrada. Realizamos la identificación:$X \sim X +2\pi R$,$X$siendo una de las 25 dimensiones espaciales, digamos$X^{25}$Los momentos izquierdo y derecho son:

$k_L =\frac{n}{R} +\frac{wR}{\alpha'} = 0$,$k_R =\frac{n}{R} - \frac{wR}{\alpha'} = 0$

Las condiciones de masa en el caparazón se escriben:

$m^2 = k_L^2 + \frac{4}{\alpha'}(N - 1)$,$m^2 = k_R^2 + \frac{4}{\alpha'}(\tilde N - 1)$

De esto obtenemos:

$0 = k_L^2 - k_R^2 + \frac{4}{\alpha'}(N - \tilde N)$

Usando un impulso "sin dimensiones"$l_{L,R} = k_{L,R}(\frac{\alpha'}{2})^{\frac{1}{2}}$, obtenemos :

$0 = l_L^2 - l_R^2 + 2 (N - \tilde N)$

Si compactamos 16 dimensiones, tendremos vectores$\vec l_L, \vec l_R$, con :

$0 = \vec l_L^2 - \vec l_R^2 + 2 (N - \tilde N)$

Ahora, en la cadena heterótica, consideramos solo los que se mueven por la izquierda, por lo que$\vec l_R = \vec 0$, entonces tenemos :

$0 = \vec l_L^2 + 2 (N - \tilde N)$

Si consideramos una red$\Gamma$hecho con el$\vec l_L$, vemos que debe ser un retículo par.

Nota :

La expresión del momento adimensional puede justificarse observando la expansión del producto del operador (OPE):

$X_L(z_1) X_L(z_2) \sim -\frac{\alpha'}{2} \ln z_{12}$y$X_R(z_1) X_R(z_2) \sim -\frac{\alpha'}{2} \ln \bar z_{12}$

Tenga en cuenta que también tenemos:

$:e^{ik_LX_L(z)+ik_RX_R(\bar z)}: :e^{ik_L'X_L(0)+ik_R'X_R(\bar 0)}:~ \sim z^{\alpha'k_Lk_L'/2} (\bar z)^{\alpha'k_Rk_R'/2} ~:e^{i(k_L +k_L')X_L(0)+i(k_R + k_R')X_R(0)}:$

donde el$z,\bar z$se podría escribir el término$z^{l_Ll_L'} \bar z^{l_Rl_R'}$

De hecho, el valor único del último OPE debajo de un círculo significa que:

$e^{2i\pi (l_Ll_L' - l_Rl_R')} = 1$, entonces$l_Ll_L' - l_Rl_R'$es en$\mathbb Z$