¿Qué sucede si el grupo de holonomía se encuentra en SU(2)SU(2)SU(2) para un CY 3 veces?

Permítanme elaborar sobre los comentarios correctos de Ryan.

El fondo plano hace que todos los componentes de los espinores sean covariantemente constantes; por lo que la geometría es compatible con todo SUSY.

Una variedad curva genérica de 6 dimensiones reales tiene una$O(6)$holonomía o$SO(6)\sim SU(4)$si es orientable. El$SU(3)$subgrupo conserva 1/4 de las sobrealimentaciones originales: es la única carga entre$4$en$SU(4)$que no está incluido en$3$de$SU(3)$y por lo tanto "no participar en la mezcla" que destruye la constancia covariante. Si la holonomía es$SU(2)$, entonces se conservan 2/4 de los componentes originales del espinor, es decir, 1/2 de la supersimetría.

En realidad, el$SU(3)$las variedades de holonomía son las habituales tripletas genéricas de Calabi-Yau. A partir de 16 sobrealimentaciones, es decir$N=4$de la teoría heterótica de cuerdas, por ejemplo, producen la teoría realista$N=1$. Sin embargo,$SU(2)$la holonomía produciría$N=2$en cuatro dimensiones que es demasiado.$N=2$SUSY es demasiado grande para modelos realistas, al menos para quarks y leptones, porque garantiza multipletes demasiado grandes, simetría izquierda-derecha del espacio-tiempo (sin quiralidad) y otras fuertes restricciones en el espectro y la fuerza de varias interacciones que no estarían de acuerdo con observaciones.

Los múltiples con el$SU(2)$la holonomía son más o menos Calabi-Yaus de la forma$K3\times T^2$y quizás algunos orbifolds de esta variedad. Entonces, dos de las seis dimensiones permanecen planas y desacopladas de las otras cuatro curvas.

Digamos que tenemos un sobrealimentador$Q$en$\mathbb{R}^{10}$. Para convertir esto en una sobrecarga en el$\mathbb{R}^4$teoría efectiva obtenida compactando sobre$X$, tenemos que contratar$Q$con un espinor covariantemente constante en$X$. La razón por la que queremos que sea covariantemente constante es porque queremos tomar el tamaño de$X$a cero.

Los espinores constantes covariantes se obtienen tomando un espinor en un punto y transportándolo en paralelo por toda la variedad. Obtenemos un espinor global bien definido si y solo si el espinor con el que comenzamos fue invariante bajo la acción del grupo de holonomía. Por lo tanto, obtenemos más de estos si la representación de la holonomía de$X$está restringido. Lo más simple que puede ser (trivial) ocurre cuando$X$es un toro plano, y obtendremos diferentes números de supercargas que surgen de$Q$cuando la holonomía de$X$es$SU(2)$o$SU(3)$.

Hay un buen conjunto de notas de conferencias que hablan sobre la relación entre la holonomía especial y los espinores constantes covariantes aquí: http://empg.maths.ed.ac.uk/Activities/Spin/Lecture8.pdf .