¿Cuál es la motivación para usar las variedades de Calabi-Yau en la teoría de cuerdas?

La razón se da claramente en el famoso artículo "Configuraciones de vacío para supercuerdas" - http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0550321385906029 -. Aquí, solo estoy copiando la introducción de ese documento. No puedo decir la razón por qué con mejores palabras.

Recientemente, el descubrimiento [6] de la cancelación de anomalías en una versión modificada de la supergravedad d = 10 y la teoría de supercuerdas con grupo calibre$O(32)$o$E_8 \times E_8$ha abierto la posibilidad de que estas teorías puedan ser fenomenológicamente realistas así como matemáticamente consistentes. Una nueva teoría de cuerdas con$E_8 \times E_8$Recientemente se ha construido un grupo de calibre [7] junto con un segundo$O(32)$teoría.

Para que estas teorías sean realistas, es necesario que el estado de vacío sea de la forma$M_4 \times K$, dónde$M_4$es un espacio de Minkowski de cuatro dimensiones y K es una variedad compacta de seis dimensiones. (De hecho, la teoría de Kaluza-Klein, con su interpretación ahora ampliamente aceptada de que todas las dimensiones están en la misma base lógica, se propuso por primera vez [8] en un esfuerzo por dar sentido a las teorías de cuerdas de dimensiones superiores). Los números cuánticos de quarks y leptones se determinan luego por invariantes topológicos de K y de un$O(32)$o$E_8 \times E_8$campo calibre definido en K [9]. Tales consideraciones, sin embargo, están lejos de determinar de manera única a K.

En este artículo, discutiremos algunas consideraciones que, si son válidas, se acercan mucho a determinar K de manera única. Necesitamos

(i) La geometría debe ser de la forma$H_4 \times K$, dónde$H_4$es un espacio-tiempo máximamente simétrico.

(ii) Debería haber una supersimetría N = 1 ininterrumpida en cuatro dimensiones. Los argumentos generales [10] y las demostraciones explícitas [11] han demostrado que la supersimetría puede jugar un papel esencial en la resolución de la jerarquía de calibre o el problema de los números grandes de Dirac. Estos argumentos requieren que la supersimetría no se rompa en la escala de Planck (o compactación).

(iii) El grupo de calibre y el espectro de fermiones deben ser realistas.

Estos requisitos resultan extremadamente restrictivos. En teorías previas de supergravedad de diez dimensiones, las configuraciones supersimétricas nunca han dado lugar a fermiones quirales, y mucho menos a un espectro realista. Sin embargo, la modificación introducida por Green y Schwarz para producir una teoría de campo libre de anomalías también permite satisfacer estos requisitos. Veremos que la supersimetría N = 1 ininterrumpida requiere que K tenga, para configuraciones perturbativamente accesibles,$SU(3)$holonomía* y que la constante cosmológica de cuatro dimensiones se desvanece. La existencia de espacios con$SU(3)$la holonomía fue conjeturada por Calabi [12] y demostrada por Yau [13].

La raíz de esto es la llamada anomalía, que hace que las teorías de supercuerdas sean matemáticamente inconsistentes. La única dimensión donde puede desaparecer es la "crítica" (10), pero eso en sí mismo no es suficiente si la topología global no es trivial. Y tiene que ser no trivial para compactar las dimensiones adicionales. Dado que el espacio-tiempo físico es topológicamente trivial, el problema se reduce solo a la parte compactada e implica que su primera clase Chern debe desaparecer, convirtiéndose en Calabi-Yau.