Teoría del campo medio y correlaciones espaciales en física estadística

En física estadística, la teoría del campo medio (MFT, por sus siglas en inglés) a menudo se introduce resolviendo el modelo de Ising y sus propiedades. Desde el punto de vista del modelo de espín, la aproximación de campo medio se obtiene requiriendo que:

Ec.(1) ⟨ S i S j ⟩ = ⟨ S i ⟩ ⟨ S j ⟩ para i ≠ j

Dónde S i es el espín local observable soportado en el sitio i de una red dada (en el caso clásico de Ising, es simplemente ± 1 ).

Divido mis preguntas/comentarios en dos partes:

Parte 1 (a): Sé que hay formas más sofisticadas de formular mucho más rigurosamente la teoría del campo medio en la física estadística, pero ¿es la relación anterior una definición equivalente para el caso particular de un modelo de espín?

Parte 1 (b): dado que la relación anterior es una definición equivalente de MFT para un modelo de espín, ¿es correcto decir que: "La teoría del campo medio es equivalente a eliminar cualquier correlación espacial de espín de nuestro sistema". ? Creo que esto se sigue de la ecuación (1).

Parte 2: Sin embargo, y esto es lo que me confunde: ¿Por qué podemos definir una longitud de correlación? ξ y un exponente crítico correspondiente v (c.g. v = 1 / 2 para MFT aplicado al modelo de Ising) de la función de correlación de dos puntos conectada?

Ec.(2) ⟨ S i S j ⟩ − ⟨ S i ⟩ ⟨ S j ⟩ ∼ mi − | i − j | / ξ

Para mí, la Ec. (1) y la ecuación. (2) parece contradictorio para las distancias | i − j | más pequeño que la longitud de correlación, pero ambos se derivan de MFT...

Respuestas (1)

En resumen, creo que las respuestas son:

1) sí, la aproximación ⟨ S i S j ⟩ ≈ ⟨ S i ⟩ ⟨ S j ⟩ le da el comportamiento correcto para un sistema de espín con valores de espín homogéneos , pero

2) hay más en la teoría del campo medio que este nivel de cálculo

la aproximación

⟨ S i S j ⟩ ≈ ⟨ S i ⟩ ⟨ S j ⟩
proporciona una aproximación para determinar cuál es el valor de giro medio dentro del modelo de Ising, pero es insuficiente para calcular realmente ⟨ S i S j ⟩ , como has notado. El resultado de esta aproximación es una energía libre en términos del campo medio ⟨ S ⟩ = metro . Para obtener la función de correlación de dos puntos, tenemos que determinar el costo energético por tener no uniforme metro ( r ) . Una forma natural de hacer esto es usar la expansión de Landau, es decir, escribimos (ver, por ejemplo, el capítulo 4 de Chaikin y Lubensky)
F = ∫ d d X F + ∫ d d X C 2 | ∇ metro | 2
dónde F ( X ) = 1 2 r metro 2 + tu metro 4 + ⋯ .

La energía libre del primer término es algo que puedes obtener haciendo la aproximación ⟨ S i S j ⟩ ≈ ⟨ S i ⟩ ⟨ S j ⟩ . Sin embargo, esto no le da el valor C , que es esencialmente un término fenomenológico (puede relacionarlo con la tensión de línea efectiva entre dominios en el modelo de Ising). Siempre que vea una descripción de la función de correlación en MFT, se ha incluido algún término como este. También hay un esquema MFT equivalente en la teoría de campos donde el MFT se puede derivar mediante una aproximación de punto de silla (ver Física estadística de campos de Kardar, por ejemplo). Sin embargo, no recuerdo de antemano cómo pasar de un modelo de Ising a la teoría de campo apropiada... Creo que esto se hace con una transformación de Hubbard-Stratonovich, pero no recuerdo los detalles.

Para cualquiera que lea esto, vea mi pregunta aquí para la transformación de Hubbard-Stratonovich del modelo de Ising y la MFT resultante
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