¿Cuántas soluciones de Onsager hay?

Estoy casi a la mitad de la parte más importante del artículo de Onsager, así que intentaré resumir lo que he entendido hasta ahora, lo editaré más tarde cuando tenga más que decir.

Onsager comienza usando el modelo 1D para ilustrar su metodología y corregir algunas notaciones, así que lo seguiré pero usaré algunas notaciones más "modernas".

En el modelo 1D Ising, solo interactúan los espines vecinos, por lo tanto, la energía de las interacciones está representada por

$$E=-J\mu^{(k)}\mu^{(k-1)}$$

dónde$J$es la fuerza de interacción.

La función de partición es

$$Z = \sum_{\mu^{(1)},\ldots,\mu^{(N)}=\pm 1} e^{-\sum_k J\mu^{(k)}\mu^{(k-1)}/kT}$$

Onsager señala que la exponencial puede verse como un componente de matriz:

$$\langle \mu^{(k-1)}| V | \mu^{(k)} \rangle = e^{-J\mu^{(k)}\mu^{(k-1)}/kT}$$

La suma de la partición se convierte en la traza de un producto de matriz en esta notación

$$Z = \sum_{\mu^{(1)},\mu^{(N)}=\pm 1} \langle \mu^{(1)}| V^{N-1} | \mu^{(N)} \rangle$$

Entonces para grandes potencias$N$de$V$, dominará el valor propio más grande. En este caso,$V$es solo un$2\times 2$matriz y el valor propio más grande es$2\cosh(J/kT)=2\cosh(H)$, introduciendo$H=J/kT$.

Ahora, para construir el modelo Ising 2D, Onsager propone construirlo agregando una cadena 1D a otra cadena 1D y luego repetir el procedimiento para obtener el modelo 2D completo.

En primer lugar, señala que la energía de la cadena recién añadida$\mu$va a depender de la cadena$\mu'$a lo que se le agrega lo siguiente:

$$E = -\sum_{j=1}^n J \mu_j \mu'_j$$

Pero si exponenciamos esto para ir a la fórmula de partición, obtenemos el$n$ª potencia de la matriz que definimos previamente, por lo que usando la notación que Onsager introdujo allí

$$V_1 = (2 \sinh(2H))^{n/2} \exp(H^{*}B)$$

con$H^{*}=\tanh^{-1}(e^{-2H})$y$B=\sum_j C_j$con$C_j$el operador matricial que trabaja en una cadena de la siguiente manera

$$C_j |\mu_1,\ldots,\mu_j,\ldots,\mu_n \rangle = |\mu_1,\ldots,-\mu_j,\ldots,\mu_n \rangle$$

Luego, para tener en cuenta la contribución de energía de los espines dentro de una cadena, observa que la energía total es

$$E = -J' \sum_{j=1}^n \mu_j\mu_{j+1}$$

agregando periodicidad, esa es la$n$El átomo es vecino del primero. También tenga en cuenta que la fuerza de interacción no debe ser igual a la fuerza de interacción entre cadenas. Introduce nuevos operadores matriciales.$s_j$que actúan sobre una cadena como

$$s_j|\mu_1,\ldots,\mu_j,\ldots,\mu_n \rangle = \mu_j |\mu_1,\ldots,\mu_j,\ldots,\mu_n \rangle$$

y de esta manera construye una matriz

$$V_2 = \exp(H'A) = \exp(H'\sum_j s_j s_{j+1})$$

Ahora, el modelo 2D se puede construir agregando una cadena mediante la aplicación de$V_1$y luego definir las interacciones internas usando$V_2$. Entonces se obtiene la siguiente cadena de operaciones

$$\cdots V_2 V_1 V_2 V_1 V_2 V_1 V_2 V_1 V_2 V_1$$

Por lo tanto, es claro que la matriz a analizar en nuestro modelo 2D es$V=V_2 V_1$. Este es nuestro nuevo problema de valores propios:

$$\lambda | \mu_1,\ldots,\mu_n \rangle = \exp(H'\sum_j s_j s_{j+1}) \sum_{\mu'_1,\ldots,\mu'_n=\pm 1} \exp(H\sum_j \mu_j \mu'_{j})| \mu'_1,\ldots,\mu'_n \rangle$$

Ahora, los cuaterniones entran en juego. Onsager señala que los operadores$s_j$y$C_j$construyó un álgebra de cuaterniones.

Básicamente, los elementos básicos$(1,s_j,C_j,s_jC_j)$generar los cuaterniones y ya que para diferentes$j$Si los operadores conmutan, tenemos un producto tensorial de cuaterniones, por lo tanto, un álgebra de cuaterniones.

-- Continuará --

Desearía poder hacerle justicia a su pregunta, pero me contentaré con un comentario sobre la conexión entre dos de los métodos de solución mencionados en el artículo de Barry McCoy, a saber, el método de matriz de transferencia de conmutación de Baxter y el enfoque algebraico original de Onsager.

En cierto sentido, estos métodos deben considerarse distintos, ya que el método de Baxter es aplicable a una amplia familia de modelos adicionales, mientras que el método de Onsager se aplica solo a Ising y modelos estrechamente relacionados. Un hecho relacionado es que, mientras que la energía libre y el parámetro de orden se han calculado para muchos modelos bidimensionales, solo para Ising se entienden por completo las funciones de correlación. (Se pueden escribir en términos de determinantes simples). Entre los modelos bidimensionales solucionables, Ising parece ser muy especial. Se encuentra en la intersección de muchas familias infinitas de modelos. Aunque todos los modelos de celosía solubles tienen muchas estructuras inesperadas, en particular, tienen infinitas cantidades conservadas, Ising es aún más especial. Onsager'

Dado que el método de matriz de transferencia de conmutación de Baxter no explota esta estructura especial, se puede utilizar para resolver muchos otros modelos que no la tienen. Su método utiliza la relación de Yang-Baxter para establecer que las matrices de transferencia conmutan para diferentes valores del parámetro espectral (que, en el modelo de Ising, parametriza la diferencia entre las fuerzas de acoplamiento horizontal y vertical). Dado que los vectores propios deben ser independientes del parámetro espectral, se pueden derivar relaciones funcionales para los valores propios, que luego se pueden resolver.

El método de Onsager fue ampliado por Dolan y Grady, quienes demostraron que cierto conjunto de relaciones de conmutación implica la existencia de un conjunto infinito de leyes de conservación. En la década de 1980, se descubrió una generalización de estado n resoluble del modelo de Ising, conocida como modelo de Potts quiral superintegrable, que satisface las condiciones de Dolan y Grady y, como consecuencia, tiene matrices de transferencia con la misma estructura de producto directo que explotó Onsager. en 1944. Curiosamente, el modelo Potts quiral superintegrable corresponde a un punto especial en una familia de modelos solucionables de un parámetro, los modelos Potts quirales integrables. Estos últimos se pueden resolver por el método de Baxter, pero se pueden resolver por el método de Onsager solo en el punto superintegrable.

Los otros métodos de solución que Barry McCoy menciona en su artículo de Scholarpedia - los fermiones libres de Kaufman, el método combinatorio, la solución 399 de Baxter y Enting - también parecen hacer uso de la estructura particular del modelo de Ising. En este sentido, son más parecidos al método original de Onsager que al método de matriz de transferencia de conmutación de Baxter. Como ya ha sugerido, puede haber algunas equivalencias entre ellos, pero tendría que estudiar más esto antes de seguir comentando.

Ya que nadie está tratando de dar una respuesta, lo intentaré yo mismo.

Poco después de escribir esta pregunta, aprendí (en esta linda respuesta de Raskolnikov ) sobre el maravilloso libro de Baxter sobre soluciones exactas en mecánica estadística. Lento pero seguro, me di cuenta de que el modelo de Ising ha sido resuelto tantas veces por muchos métodos diferentes por prácticamente todos los físicos famosos (enumeraré algunas de las soluciones más adelante) que quedó claro que mi pregunta es inadecuada y solo refleja mi enorme ignorancia.

Para compensar eso, comencé a leer periódicos. El propio artículo de Onsagar salió en 1944. En 1949 apareció el artículo de Bruria Kaufman donde señala que la matriz de transferencia se puede interpretar como$2^n$-representación dimensional de$2n$-rotaciones dimensionales. Así que introduce el análisis de espinores (p. ej., matrices de Pauli y Dirac) y sigue adelante para resolver el problema. Debo decir que estoy enamorado de este enfoque (está bien, me entendiste, soy una persona de grupo).

En 1952, Kac y Ward utilizaron un método puramente combinatorio de algunos polígonos (que aún no entiendo del todo, pero probablemente tenga que ver con los contornos de Peierl). Otros artículos señalan la dualidad con el campo fermiónico libre. O tenga en cuenta que Ising es solo un caso especial de Random Cluster Model; o un modelo de dímero. Estos documentos llevan nombres (sin ningún orden en particular) como Potts, Ward, Kac, Kasteleyn, Yang, Baxter, Fisher, Montroll y otros. Es bastante obvio que me llevará algún tiempo entender (o incluso leer) todos esos documentos.

Así que tomé un camino diferente y usé ask google . Consultar todos los nombres anteriores a la vez devuelve gemas preciosas:

1. Increíble artículo en Scholarpedia. Contiene tratamiento histórico, principales métodos de solución, referencias a los documentos que mencioné y mucho, mucho más.
2. papel Historia del modelo Lenz-Ising
3. papel Magnetización espontánea del modelo de Ising

No decir lo obvio, pero parece que la información en el artículo de la eruditapedia que @marek mencionó en su respuesta es más completa que cualquier respuesta que yo o cualquier otra persona podamos encontrar.

Para citar este artículo, "hay cinco métodos diferentes que se han utilizado para calcular la energía libre del modelo de Ising". Para obtener más información, consulte el enlace de arriba. Cualquier cosa más que agregue será solo una repetición.

En cuanto a la recompensa, debería ir a Barry McCoy, el autor del artículo de Schoopedia;)