Regla del producto para sumas de partición ZN=(Z1)NZN=(Z1)NZ_N=(Z_1)^N

Para el modelo 1D Ising con el hamiltoniano

H = C o norte s t . − m h ′ ∑ i S i z

podemos escribir la suma de la partición canónica como

Z norte = ∑ { S i z } norte mi − β m h ∑ i S i z = ∑ { S i z } norte ∏ i mi − β m h S i z

para lo cual luego usamos

Z norte = ( Z 1 ) norte
con la suma de partición de una sola partícula Z 1

No profundizamos más en la prueba durante la conferencia, y no es inmediatamente obvio para mí.

Mi intento:

Para el gas ideal clásico podría usar el teorema multinomial

( X 1 + X 2 + ⋯ + X norte ) k = ∑ k 1 + ⋯ + k norte = k k ! k 1 ! … k norte !   X 1 k 1 X 2 k 2 … X norte k norte

pero para eso el factor k ! k 1 ! … k norte ! tendría que ser 1 .

¿Cómo demuestro mejor Z norte = ( Z 1 ) norte ?

Respuestas (2)

De hecho, Z norte = ( Z 1 ) norte es cierto para todos los sistemas que no interactúan con componentes idénticos, donde el hamiltoniano se puede escribir como H = H 1 + . . . + H norte dónde H k solo depende del estado del k -ésima partícula (/spin/...) y todas H k son lo mismo.

Esto se puede ver así.

Z norte = ∑ s t a t mi s   s 1 . . . s norte mi − β H = ∑ s 1 ∑ s 2 . . . ∑ s norte mi − β ( H 1 + . . . + H norte ) = ∑ s 1 mi − β ( H 1 ) ∑ s 2 mi − β ( H 2 ) . . . ∑ s norte mi − β ( H norte ) = ( ∑ s 1 mi − β H 1 ) norte = Z 1 norte

Nota: Para partículas idénticas, un factor 1 / norte ! adicionalmente podría ser necesario.

En primer lugar, la última manipulación de la suma de la partición no es correcta. No se puede sacar un factor global mi − β m h .

Para darte una pista: podría ser útil escribir

∑ { S i } = ∏ i ∑ S i = ± 1 = ∑ S 1 = ± 1 ∑ S 2 = ± 1 ⋯ ∑ S norte = ± 1
y explotar que factoriza el factor de Boltzmann.

Regla del producto para sumas de partición ZN=(Z1)NZN=(Z1)NZ_N=(Z_1)^N
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