Teoría del campo medio en el modelo 1D Ising

Un enfoque de teoría de campo medio para el modelo de Ising da una temperatura crítica k B T C = q j , dónde q es el número de vecinos más cercanos y j es la interacción en el hamiltoniano de Ising. Configuración q = 2 para el caso 1D da k B T C = 2 j . Según este argumento, habría una transición de fase en el modelo 1D Ising. Esto obviamente está mal.

¿La teoría del campo medio es inválida para el caso 1D? ¿Me estoy perdiendo de algo?

Respuestas (1)

Sí, la teoría del campo medio es incorrecta para el caso unidimensional (y también incorrecta para los casos bidimensionales y tridimensionales, donde existe la transición pero la aproximación del campo medio obtiene la temperatura crítica y los exponentes incorrectos). De hecho, es un ejercicio típico de primer año para resolver el modelo 1D Ising exactamente usando matrices de transferencia, y le sugiero que lo investigue.

La naturaleza de la aproximación de campo medio es que asume que no hay fluctuaciones térmicas alrededor de la solución aproximada que usted propone (es decir, un estado con orden ferromagnético), pero en dimensiones bajas, esta aproximación suele ser cualitativamente incorrecta.

La teoría del campo medio del modelo de Ising resulta ser exacta en 4 dimensiones, pero es posible que la teoría del campo medio no describa bien las transiciones de fase más complicadas para dimensiones aún más altas (esto se denomina "dimensión crítica superior").

¿Existe una explicación intuitiva de por qué las fluctuaciones térmicas juegan un papel más importante con menos dimensiones?
Debido al mapeo cuántico-clásico, podemos entender las fluctuaciones en general mediante sistemas clásicos simples que no interactúan, por ejemplo, un conjunto canónico de norte partículas libres en d dimensiones espaciales. Del teorema de equipartición tenemos ⟨ mi ⟩ = d / 2 norte k T ∼ d norte . La fluctuación de energía viene dada por el promedio del conjunto. ⟨ Δ mi 2 ⟩ = − ∂ ⟨ mi ⟩ ∂ β ∼ d norte . Por lo tanto, tenemos ⟨ Δ mi 2 ⟩ / ⟨ mi ⟩ ∼ 1 d norte , es decir, la fluctuación es menor si tenemos más partículas en dimensiones superiores.
Esto se reduce finalmente al número de grados de libertad del sistema, que es d norte en este caso. Y que la fluctuación escala inversamente con d norte puede considerarse como una consecuencia del teorema del límite central.
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